Dimostrazione disuguaglianza di Bernoulli

[handuup]

Buongiorno. Non riesci a capire un passaggio della dimostrazione di Bernuolli. Dopo aver provato che per n=0 la disuguaglianza è vera, sostituisco al posto di n, n+1. Quindi ho (1+h)^(n+1)>= 1+(n+1)x. Dopo grazie alla proprietà delle potenze mi scrivo (1+h)^(n)×(1+h)>= 1+nx+x. Poi non so comè continuare. Grazie per le risposte.
P.S. come faccio a scrivere pe formule come fate voi?

[killing_buddha]

\[\begin{align*}
(1+h)^{n+1} &= (1+h)^n(1+h)\\
& \ge \big( 1+(n+1)h\big)(1+h)\\
& = 1+(n+2)h+(n+1)h^2 \\
&\ge 1+(n+2)h
\end{align*}\]

[pilloeffe]

Ciao handuup,

Rispondo solo al tuo P.S., dato che per la disuguaglianza di Bernoulli ti ha già risposto killing_buddha.

"handuup":P.S. come faccio a scrivere le formule come fate voi?

Come è specificato qui, link che trovi anche nel box rosa in alto intitolato Regole del forum.
Se non hai tempo o voglia di leggere tutto quanto, prova semplicemente a racchiudere le tue formule tra due simboli di dollaro. Ti faccio un esempio veloce sfruttando quello che hai scritto:

"handuup":Quindi ho (1+h)^(n+1)>= 1+(n+1)x

Se avessi scritto

Quindi ho $(1+h)^(n+1)>= 1+(n+1)x $

avresti ottenuto

Quindi ho $(1+h)^(n+1)>= 1+(n+1)x $

[handuup]

Grazie. Però penso di non aver capito un passaggio della dimostrazione per induzione. Perché si moltiplica il secondo membro per $(1+h)$?

[pilloeffe]

"handuup":Grazie.

Prego.
La disuguaglianza di Bernoulli afferma che si ha:

$ (1 + h)^n \ge 1 + nh $

La dimostrazione per induzione di tale disuguaglianza prevede di verificare che tale disuguaglianza sia vera per $n = 0 $ (banale, in tal caso vale l'uguaglianza); poi, supposta vera per $n $ (ipotesi), occorre dimostrare (tesi) che è vera per $n + 1 $, cioè la tesi è la seguente:

$(1 + h)^{n + 1} \ge 1 + (n + 1)h $

Per una ben nota proprietà delle potenze si ha:

$(1 + h)^{n + 1} = (1 + h)^{n}(1 + h) $

Ora si sfrutta l'ipotesi induttiva: $(1 + h)^{n} \ge 1 + nh $. Quindi si ha:

$(1 + h)^{n + 1} = (1 + h)^{n}(1 + h) \ge (1 + nh)(1 + h) = 1 + (n + 1)h + nh^2 \ge 1 + (n + 1)h $

dato che $nh^2 \ge 0 $. In definitiva si è ottenuto

$(1 + h)^{n + 1} \ge 1 + (n + 1)h $

che è proprio ciò che volevasi dimostrare. Si conclude che è vero che si ha:

$ (1 + h)^n \ge 1 + nh \qquad \AA n \in \NN $

[handuup]

Grazie. Penso di non aver capito il processo di dimostrazione per l'esatezza l'ipotesi induttiva. Grazie ancora

[handuup]

Potete suggerirmi delle dispense buone per studiare?

[pilloeffe]

Più che delle dispense, ti suggerirei un buon testo di Analisi Matematica... Non ne hai uno (o più di uno) consigliato dal docente del corso che stai seguendo?

[handuup]

La docente ci ha consigliato il Giusti seconda edizione mi pare che però non l'ho trovato è quindi mi sono preso il De Marco

[pilloeffe]

Il Giusti lo ricordo come un buon testo, anche se probabilmente l'edizione che conosco io non è quella in circolazione attualmente... Il De Marco invece non lo conosco, ma ne ho sentito parlare bene, anche su questo forum.