Dimostrazione disuguaglianza
La mia professoressa di Analisi ci ha chiesto di dimostrare la seguente disequazione:
$\frac{a+b}{2} > \sqrt{ab}$ con $a, b>0$.
Ho provato a ragionare per assurdo ma non mi trovo
Quali passaggi seguireste?
Grazie in anticipo
$\frac{a+b}{2} > \sqrt{ab}$ con $a, b>0$.
Ho provato a ragionare per assurdo ma non mi trovo
Quali passaggi seguireste?
Grazie in anticipo
Risposte
Ora che hai beccato la sezione corretta, elimina il tutto-maiuscolo dal titolo (vedi qui).
Grazie.
Poi, cosa hai provato a fare?
Ragionare per assurdo, ovviamente, non ti porta in alcun posto. A parte questo, innanzitutto, chiediti: la disuguaglianza (no, non è una disequazione!) scritta è corretta?
Per quali numeri $a,b$ la disuguaglianza ha senso?
Per tali valori di $a$ e $b$, quali manipolazioni algebriche della disuguaglianza sono lecite?
Dove arrivo manipolando algebricamente la disuguaglianza?
Grazie.
Poi, cosa hai provato a fare?
Ragionare per assurdo, ovviamente, non ti porta in alcun posto. A parte questo, innanzitutto, chiediti: la disuguaglianza (no, non è una disequazione!) scritta è corretta?
Per quali numeri $a,b$ la disuguaglianza ha senso?
Per tali valori di $a$ e $b$, quali manipolazioni algebriche della disuguaglianza sono lecite?
Dove arrivo manipolando algebricamente la disuguaglianza?
la disuguaglianza è valida per ogni valore di a e di b (con a e b positivi, come da ipotesi). Le manipolazioni algebriche possibili sono tutte quelle relative all'ordinamento dei numeri reali. Il mio problema è che non so come procedere per fare questa dimostrazione richiesta
"saso366":
la disuguaglianza è valida per ogni valore di a e di b (con a e b positivi, come da ipotesi).
Sicuro?
Cosa succede se $a=b$?
"saso366":
Le manipolazioni algebriche possibili sono tutte quelle relative all'ordinamento dei numeri reali. Il mio problema è che non so come procedere per fare questa dimostrazione richiesta
Prova a farne qualcuna.
Al secondo membro hai una radice: il tuo “buon senso” matematico cosa ti dice di fare?
P.S.: Si tratta davvero di “buon senso”, perché servono nozioni dei primi due anni delle superiori, niente più.
Sisi ma io questo tipo di operazioni le avevo già fatte.
Moltiplico entrambi i membri per $2$
$a+b>2 sqrt(ab)$
Elevo al quadrato entrambi i membri
$a^2 + b^2 +2ab > 4ab$
porto $4ab$ all'altro membro
$a^2 + b^2 - 2ab>0$
Ossia un quadrato di binomio
$(a-b)^2 >0$ o anche $(b-a)^2 >0$
Moltiplico entrambi i membri per $2$
$a+b>2 sqrt(ab)$
Elevo al quadrato entrambi i membri
$a^2 + b^2 +2ab > 4ab$
porto $4ab$ all'altro membro
$a^2 + b^2 - 2ab>0$
Ossia un quadrato di binomio
$(a-b)^2 >0$ o anche $(b-a)^2 >0$
Fatto questo come dovrei procedere?
Quello che hai fatto va bene. Mancano la conclusione e le considerazioni di quello che succede se $a=b$.
Ok. La conclusione ossia
a>b o b>a?
a>b o b>a?
Se $a=b$ quanto vale $(a-b)^2$?
Il quadrato di un numero reale può essere negativo? Allora quali sono le soluzioni di $(a-b)^2>0$?
Il quadrato di un numero reale può essere negativo? Allora quali sono le soluzioni di $(a-b)^2>0$?
@saso366
Un quadrato può essere negativo? $(3-4)^2=(4-3)^2=1$ no?
Controlla solo se la disuguaglianza regge per a=b come ti è stato suggerito.
Ma solo perchè ti hanno detto che a e b sono entrambi positivi...altrimenti, analizzando la radice avresti dovuto considerare anche il caso in cui siano entrambi negativi o uno dei due pari a zero...cosa che potresti ugualmente fare.
Un quadrato può essere negativo? $(3-4)^2=(4-3)^2=1$ no?
Controlla solo se la disuguaglianza regge per a=b come ti è stato suggerito.
Ma solo perchè ti hanno detto che a e b sono entrambi positivi...altrimenti, analizzando la radice avresti dovuto considerare anche il caso in cui siano entrambi negativi o uno dei due pari a zero...cosa che potresti ugualmente fare.
La diseguaglianza non regge per a=b in quanto avremmo:
2a>2a
Ok quindi la disuguaglianza (posto a diverso da b) vale per ogni valore di a e b
Grazie
scusate la demenza faccio sempre lo stesso errore di distrazione in casi come questo (quadrato>0)
2a>2a
Ok quindi la disuguaglianza (posto a diverso da b) vale per ogni valore di a e b
Grazie
scusate la demenza faccio sempre lo stesso errore di distrazione in casi come questo (quadrato>0)
Infatti, la disuguaglianza corretta sarebbe
$\frac{a+b}{2} >= \sqrt{ab}$ con $a, b>0$.
Che è verificata anche se $a=b$
$\frac{a+b}{2} >= \sqrt{ab}$ con $a, b>0$.
Che è verificata anche se $a=b$
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