Dimostrazione disuguaglianza

jitter1
Ciao a tutti... vorrei regalare per Natale questa dimostrazione (è una lunga storia...) e consegnare il regalo stasera...

Qualcuno mi aiuterebbe?

Dimostrare la disuguaglianza:
$\frac(1)(\sqrt2) \sqrt(sin^2x+tg^2x )\gex $

nell'intervallo da a pigreco mezzi.
Grazie e auguri a tutti!

Risposte
dissonance
Bisogna dimostrare che
\[
\sin^2 x + \tan^2 x -2x^2 \ge 0,\qquad x\in[0, \pi/2].\]
Ora, il termine \(2x^2\) è il primo termine non nullo dello sviluppo di Mclaurin di \(\sin^2 x + \tan^2 x\). Facendo due conti, sembra proprio che tutti i coefficienti di Mclaurin di \(\sin^2 x + \tan^2 x\) siano nonnegativi. Questo permetterebbe di concludere immediatamente, perché implica che \(\sin^2 x + \tan^2 x -2x^2\) è una serie di numeri nonnegativi.

Resta da dimostrare che tutti i coefficienti di Mclaurin di \(\sin^2 x + \tan^2 x\) sono nonnegativi. Mi ricorda un sacco questo problema analogo:
https://math.stackexchange.com/a/2393316/8157

pilloeffe
Ciao jitter,

Ci provo, poi vediamo se può piacerti come regalo... :wink:

$ \frac(1)(\sqrt2) \sqrt(sin^2x+tan^2x) = |tan x| \sqrt{\frac{1 + cos^2 x}{2}} \ge |tan x|/(sqrt2) $

Ora, tenendo presente il grafico della funzione $|tanx|$ è banale rendersi conto che $|tanx| >= \sqrt{2} x $ per $ x <= 0 $.
Meno banale invece è vedere cosa accade per $x \in (0, \pi/2) $, per la qual cosa userei un approccio differente, ricordando che $QM >= AM >= GM >= HM $, per cui per $x \in (0, \pi/2) $ si ha:

$ \frac(1)(\sqrt2) \sqrt(sin^2x+tan^2x) = \sqrt{\frac{sin^2x+tan^2x}{2}} >= \frac{sin x+tan x}{2} >= \sqrt{sin x tan x} >= \frac{2}{1/sinx + 1/tanx} = $
$ = \frac{2}{1/sinx + cosx/sinx} = \frac{2 sin x}{1 + cosx} = \frac{sin x}{(1 + cosx)/2} = \frac{2sin(x/2)cos(x/2)}{cos^2(x/2)} = 2 tan(x/2) >= 2 \cdot x/2 = x $

dato che è ben noto che $tan u >= u $ per $u \in [0, \pi/2) $.

jitter1
Grazie da parte di chi ha trovato sotto l'albero la dimostrazione stamattina!
Insomma, ci siamo divertiti con questo scherzo nerd che avevo progettato :-D

@dissoance: auguri speciali :smt039

dissonance
Grazie jitter, tantissimi auguri e un abbraccio!!!

Auguri anche a pilloeffe e a tutti gli utenti che passano di qui. Passate delle belle feste!

pilloeffe
Ciao ragazzi,

Beh, una dimostrazione è un bel regalo... :wink:
Come dice Eduardo Sàenz de Cabezòn: "Se hai una dimostrazione hai una verità eterna. Si dice che un diamante sia per sempre... Beh, un teorema è per sempre!" (cit. A cosa serve la matematica)

Buon Natale e Buone Feste anche a voi! :smt114

dissonance
Comunque ecco un'altra dimostrazione, l'idea che avevo proposto prima è troppo complicata. Sia
\[
f(x)=\sin^2x +\tan^2 x - x^2, \]
per \(x\in [0, \pi/2)\). Vogliamo mostrare che \(f(x)\ge 0 \). [EDIT sto rileggendo e mi pare che la disuguaglianza da dimostrare aveva \(2x^2\) dove io ho messo solo \(x^2\), quindi questo post dimostra una disuguaglianza più debole.]

Ora,
\[
f'(x)=2\tan x \left(\frac{1+\cos^4 x}{\cos^2x}\right) -2x, \]
e \(2\tan x\ge 2x\), e
\[\tag{*}
\left(\frac{1+\cos^4 x}{\cos^2x}\right)\ge 1, \]
come si vede ponendo \(y=\cos^2x\) e notando che (*) si riscrive come \(y^2-y+1\ge 0\), che è sempre verificata. Concludiamo che \(f'(x)\ge 0\) e siccome \(f(x)=0\), la disuguaglianza è verificata su tutto \([0, \pi/2)\).

La dimostrazione di pilloeffe è sicuramente più elegante di questa, più adatta ad andare sotto l'albero!

jitter1
Grazie ancora Dissonance, insomma qust'anno babbo natale è stato generoso, nonostante rispetto alla matematica quest'anno mi merito il carbone :roll:

pilloeffe
"jitter":
nonostante rispetto alla matematica quest'anno mi merito il carbone :roll:

Ma non era la Befana che portava il carbone? :wink:
Comunque ecco un'altra dimostrazione della disuguaglianza in questione, sempre basata sulla disuguaglianza fra medie.
$\AA x in (0, \pi/2)$ si ha:

$ \frac(1)(\sqrt2) \sqrt(sin^2x+tan^2x) = \sqrt{\frac{sin^2x+tan^2x}{2}} >= \frac{sin x+tan x}{2} = 1/2 (sin x+tan x) = $
$ = 1/2 (\int_0^x cos t dt + \int_0^x 1/cos^2 t dt ) \overset[AM-GM]{\ge} \int_0^x (dt)/(sqrt{cos t}) \ge \int_0^x 1 dt = x $

dissonance
@pilloeffe: =D>

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.