Dimostrazione disuguaglianza

[The Unborn]

Ragazzi ho un problema con il seguente esercizio:

Dimostrare che per ogni x ∈]0, +∞[ vale la seguente disuguaglianza:

$ ln( 1 + (1+x^2)^(1/2) ) < 1/x + lnx $

non ho la più pallida idea di come si debba fare...devo proseguire per induzione?

[Magma1]

Per provare la disuguaglianza

$f(x)

si pone

$h(x)=f(x)-g(x)<0$

e si prosegue con lo studio di $h(x)$

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[ThisMan]

"The Unborn":Ragazzi ho un problema con il seguente esercizio:

Dimostrare che per ogni x ∈]0, +∞[ vale la seguente disuguaglianza:

$ ln( 1 + (1+x^2)^(1/2) ) < 1/x + lnx $

non ho la più pallida idea di come si debba fare...devo proseguire per induzione?

Non puoi procedere per induzione in quanto non ti interessa provare la relazione solo per i numeri naturali

[The Unborn]

"Magma":Per provare la disuguaglianza

$f(x)

si pone

$h(x)=f(x)-g(x)<0$

e si prosegue con lo studio di $h(x)$

Ho provato, ma non riesco a risolverlo...

[Magma1]

"The Unborn":
Ho provato, ma non riesco a risolverlo...

Dove trovi difficoltà?

[The Unborn]

$ f(x) < g(x)$
$h(x) = f(x)-g(x)<0$
$h(x)=ln(1+sqrt(1+x^2))-(1/x+lnx)<0$
$h(x)=(xln(1+sqrt(1+x^2))-1-xlnx)/x<0$

dunque studio il segno:

$
h(x)<0
$

quando

$
{ ( x>0),( xln(1+sqrt(1+x^2))-1-xlnx<0 ):}
$
perché per $ x<0, lnx $ sarebbe impossibile.

Arrivato a questo punto ho pensato che dovevo portare tutto a $ ln $ allora
$xln(1+sqrt(1+x^2))-ln0 $x+sqrt(1+x^2)
qui penso di aver fatto qualcosa di blasfemo e mi son fermato.

[@melia]

Esatto, hai fatto una cosa blasfema!!!
Ma fare un paio di limiti e uno schizzo di grafico?

[The Unborn]

Non capisco in che senso dovrei fare uno schizzo di grafico nè dove dovrei fare il limite, ma sono giunto alla seguente conclusione (sempre che non era sbagliato fino a quel punto):
Arrivato a
$ xln(1+sqrt(1+x^2))-1 < xlnx $
pongo x=1
$ ln(1+sqrt(2))-1 < 0 $
dato che
$ ln(1+sqrt(2)) ~~ 0.88 -1 < 0 $
si deduce che la disuguaglianza è verificata.