Dimostrazione disuguaglianza

[pietrolocatellitupac96]

Come faccio a dimostrare che il quadrato della somma di n cordinate è minore della somma dei quadrati delle cordinate tutto moltiplicato n-volte? Sono sicuro di questa affermazione perché la ho trovata in un libro molto valido quale l'acerbi modica spagnolo, purtroppo non saprei proprio come dimostrarla anche se mi sembra una delle solite banali disuguaglianze.

[axpgn]

Intendi questa $(a_1+a_2+...+a_(n-1)+a_n)^2<=n(a_1^2+a_2^2+...+a_(n-1)^2+a_n^2)$ ?

Un modo (via induzione) per dimostrarlo mi pare questo (anche se molto laborioso ...)

Passo base: Affinché questa $(a_1+a_2)^2<=2*(a_1^2+a_2^2)$ sia vera dev'essere $a_1^2+a_2^2+2a_1a_2<=2a_1^2+2a_2^2$ da cui $2a_1a_2<=a_1^2+a_2^2\ =>\ 2<=a_1/a_2+a_2/a_1$, poniamo $a_1
Passo induttivo: Dobbiamo dimostrare $(a_1+a_2+...+a_(n-1)+a_n+a_(n+1))^2<=(n+1)(a_1^2+a_2^2+...+a_(n-1)^2+a_n^2+a_(n+1)^2)$

Sviluppando e semplificando otteniamo $2[a_1a_2+a_1_a_3+...+a_(n-1)a_(n+1)+a_na_(n+1)]<=n[a_1^2+a_2^2+...+a_n^2+a_(n+1)^2]$

Ora a sinistra avremo $n$ prodotti del tipo $2a_1a_k$ che saranno maggiorati a destra da $n$ somme $a_1^2+a_k^2$; ripetiamo: a sinistra avremo adesso $n-1$ prodotti del tipo $2a_2a_k$ che saranno maggiorati a destra da $n-1$ somme $a_2^2+a_k^2$ e così via ...
In conclusione anche qui rileggendo la dimostrazione in senso inverso si dimostra il passo induttivo e con ciò la tesi.

Spero si capisca e soprattutto che funzioni ...

Cordialmente, Alex