Dimostrazione disuguaglianza
Dimostrare la disuguaglianza
$$\log(\log x) < \log x + \log^2 x \ \forall x > 1$$
Ho risolto iniziando facendo il $\lim_{x\to+\infty} \frac{\log x+\log^2 x}{\log(\log x)}$
noto che la frazione può essere usata con il metodo del cofronto perchè asintotica a: $$\frac{\log x+\log^2 x}{\log(\log x)} \sim \frac{\log^2x}{\log(\log x)} \ per \ x\to\infty$$
Allora per un confronto tra il numeratore ed il denominatore, noto che $x > \log x \ per \ x\to\infty$
Quindi deduco che $\lim_{x\to+\infty} \frac{\log^2x}{\log(\log x)} = +\infty$
Di conseguenza la disuguaglianza è dimostrata.
Il procedimento per la soluzione è corretto?
$$\log(\log x) < \log x + \log^2 x \ \forall x > 1$$
Ho risolto iniziando facendo il $\lim_{x\to+\infty} \frac{\log x+\log^2 x}{\log(\log x)}$
noto che la frazione può essere usata con il metodo del cofronto perchè asintotica a: $$\frac{\log x+\log^2 x}{\log(\log x)} \sim \frac{\log^2x}{\log(\log x)} \ per \ x\to\infty$$
Allora per un confronto tra il numeratore ed il denominatore, noto che $x > \log x \ per \ x\to\infty$
Quindi deduco che $\lim_{x\to+\infty} \frac{\log^2x}{\log(\log x)} = +\infty$
Di conseguenza la disuguaglianza è dimostrata.
Il procedimento per la soluzione è corretto?
Risposte
NO. Hai dimostrato solo che la disuguaglianza è verificata in un intorno di $+\infty$.
Come posso procedere per ogni x > 1?
Ragiona un po'. Il metodo standard è considerare la differenza \(\log x-\log^2 x- \log\log x\) e fare uno "studio di funzione" \(^{[1]}\). Puoi anche farti furbo e risparmiarti del lavoro. Nota per esempio che il membro sinistro è negativo per $1
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\(^{[1]}\) Non amo questa locuzione, come non amo tutta la terminologia propria delle scuole superiori. Ma non trovo che sia scorretta.
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\(^{[1]}\) Non amo questa locuzione, come non amo tutta la terminologia propria delle scuole superiori. Ma non trovo che sia scorretta.
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