Dimostrazione disequazione con funzione arbitraria

[Newton_1372]

$g(x)arctan(1/g(x))<1$
La mia difficoltà consiste nell'arbitrarietà della funzione g(x), definita come "una funzione arbitraria definita in [a,b], con a e b reali". Infatti calxcolando la derivata di $h(x) = g(x)arctan(1/g(x))$ allo scopo di trovarne massimi e minimi, trovo una funzione che contiene sia g' che g...e cmq non so proprio come procedere...

[Euphurio]

"newton_1372":$g(x)arctan(1/g(x))<1$
La mia difficoltà consiste nell'arbitrarietà della funzione g(x), definita come "una funzione arbitraria definita in [a,b], con a e b reali". Infatti calxcolando la derivata di $h(x) = g(x)arctan(1/g(x))$ allo scopo di trovarne massimi e minimi, trovo una funzione che contiene sia g' che g...e cmq non so proprio come procedere...

Affinché l'espressione abbia senso deve essere [tex]g(x)\ne0[/tex] [tex]\forall x\in [a,b][/tex]. La riscrivi come [tex]\arctan(1/g(x))<1/g(x)[/tex]e poi studi la disequazione graficamente!

[gugo82]

A quanto detto da Euphurio aggiungo che ti conviene tener presente che risulta:

[tex]$\arctan y\leq y\ \Leftrightarrow\ y\geq 0$[/tex] ed [tex]$\arctan y=y\ \Leftrightarrow \ y=0$[/tex].

[Newton_1372]

Potrei avere una dimostgrazione della formula scritta sopra (arctan y < y imples y magg. = 0)

[gugo82]

Prova a studiare la funzione ausiliaria [tex]$\phi (y):=y-\arctan y$[/tex]: la dimostrazione che cerchi è tutta lì.