Dimostrazione diseguaglianza operatore limitati
Salve a tutti, per scrivere una tesina di analisi superiore avrei bisogno di dimostrare una diseguaglianza tra operatori limitati che non trovo da nessuna parte. La disuguaglianza si trova nelle dispense del mio professore ma non é dimostrata. La si trova nell'ambito degli operatori di hilbert-schmidt ma vale per qualsiasi coppia di operatori limitati. Quindi in pratica siano A e B due operatori appartenenti a B(H) (sono operatori limitati, H spazio di hilbert) devo dimostrare che:
(A+B)*per(moltiplicazione)(A+B)minoreuguale 2(A*A+B*B)
Con il simbolo * intendo l'aggiunto dell'operatore limitato. Spero possiate aiutarmi, grazie. O comunque basta che mi confermiate che é troppo complessa da dimostrare in maniera tale che possa lasciarla non dimostrata nella tesina. Grazie ancora.
(A+B)*per(moltiplicazione)(A+B)minoreuguale 2(A*A+B*B)
Con il simbolo * intendo l'aggiunto dell'operatore limitato. Spero possiate aiutarmi, grazie. O comunque basta che mi confermiate che é troppo complessa da dimostrare in maniera tale che possa lasciarla non dimostrata nella tesina. Grazie ancora.
Risposte
Non entro nel merito della questione, ma ti invito solamente a rispettare il regolamento. In particolar modo il seguente articolo:
Vedrai che gli utenti saranno più invogliati a risponderti e ad aiutarti vedendo le formule formattate.
Buone feste!
3.6b E' fortemente consigliato scrivere le formule usando il linguaggio MathML o TeX, per facilitare la lettura dei partecipanti e di coloro che si accostano al forum per imparare. Dopo 30 messaggi inseriti, segno di apprezzabile presenza nella community, l'uso di tale linguaggio per la scrittura delle formule è obbligatorio.
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Buone feste!
Ecco la diseguaglianza da dimostrare
$(A+B)^\star (A+B)\leq2(A^\starA+B^\starB)$ dove $A,B \in B(H)$ (sono operatori limitati definiti da H in H con H spazio di Hilbert). Con $A^\star$ intendo l'aggiunto dell'operatore.
Spero possiate aiutarmi, ripeto anche del dire:"guarda che é una follia da dimostrare". Grazie e buone feste a tutti.
$(A+B)^\star (A+B)\leq2(A^\starA+B^\starB)$ dove $A,B \in B(H)$ (sono operatori limitati definiti da H in H con H spazio di Hilbert). Con $A^\star$ intendo l'aggiunto dell'operatore.
Spero possiate aiutarmi, ripeto anche del dire:"guarda che é una follia da dimostrare". Grazie e buone feste a tutti.
Immagino che $A\le B$, quando $A$ e $B$ sono operatori simmetrici, significhi dire che $(Ax,x)\le (Bx, x)$ per ogni $x\in H$, giusto?
In questo caso la tua disuguaglianza è una generalizzazione di questa disuguaglianza di numeri reali:
\[
(a+b)^2\le 2a^2+2b^2, \qquad \forall a,b\in \mathbb{R}.\]
E questa si dimostra facilmente scrivendo \((a+b)^2=4\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)^2\) e la convessità della funzione \(f(x)=x^2\).
Con gli operatori $A$ e $B$ le cose sono un tantino più complicate. Può essere che questa dimostrazione si possa estendere, non lo so.
In questo caso la tua disuguaglianza è una generalizzazione di questa disuguaglianza di numeri reali:
\[
(a+b)^2\le 2a^2+2b^2, \qquad \forall a,b\in \mathbb{R}.\]
E questa si dimostra facilmente scrivendo \((a+b)^2=4\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)^2\) e la convessità della funzione \(f(x)=x^2\).
Con gli operatori $A$ e $B$ le cose sono un tantino più complicate. Può essere che questa dimostrazione si possa estendere, non lo so.
Grazie per la risposta ma l'unica ipotesi su A e B é che sono operatori limitati e bisogna tenere conto degli aggiunti
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