Dimostrazione differenziabilità implica continuità?

[Jokah]

Salve bella gente, vi propongo la seguente questione.
Citando gli appunti del mio professore:

Per quanto osservato il fatto che la funzione $f:A\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ sia differenziabile in $x_0\in A$ si può trascrivere come:

\(f(x_0+h) - f(x_0) = \nabla f|_{x_0}\cdot h + o(\begin{Vmatrix}h\end{Vmatrix})\)
Dividendo entrambi i membri per \(\begin{Vmatrix}h\end{Vmatrix}\) e passando al limite per \(\begin{Vmatrix}h\end{Vmatrix}\to0\) si scrive

\(\lim_{\begin{Vmatrix}h\end{Vmatrix}\to0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{\begin{Vmatrix}h\end{Vmatrix}} = \lim_{\begin{Vmatrix}h\end{Vmatrix}\to0}\frac{\nabla f|_{x_0}\cdot h}{\begin{Vmatrix}h\end{Vmatrix}} + \lim_{\begin{Vmatrix}h\end{Vmatrix}\to0} \frac{o(\begin{Vmatrix}h\end{Vmatrix})}{\begin{Vmatrix}h\end{Vmatrix}}\)

Da cui, dalla definizione di o piccolo si ha che

\(\lim_{\begin{Vmatrix}h\end{Vmatrix}\to0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{\begin{Vmatrix}h\end{Vmatrix}} = \lim_{\begin{Vmatrix}h\end{Vmatrix}\to0}\frac{\nabla f|_{x_0}\cdot h}{\begin{Vmatrix}h\end{Vmatrix}} \)

Poiché vale la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz succede che \(\begin{vmatrix}\nabla f|_{x_0}\cdot h\end{vmatrix} \le \begin{Vmatrix}\nabla f|_{x_0}\end{Vmatrix}\begin{Vmatrix}h\end{Vmatrix} \to 0\) quando $h\to0$ segue la continuità.

Non capisco come faccia a far seguire la continuità. D'altra parte quella disuguaglianza va applicata ad un limite, per cui si dovrebbe ottenere a mio avviso che \(\lim_{\begin{Vmatrix}h\end{Vmatrix}\to0} \begin{vmatrix}\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{\begin{Vmatrix}h\end{Vmatrix}}\end{vmatrix} \le \lim_{\begin{Vmatrix}h\end{Vmatrix}\to0} \frac{\begin{Vmatrix}\nabla f|_{x_0}\end{Vmatrix}\begin{Vmatrix}h\end{Vmatrix}}{\begin{Vmatrix}h\end{Vmatrix}} = \lim_{\begin{Vmatrix}h\end{Vmatrix}\to0} \begin{Vmatrix}\nabla f|_{x_0}\end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix}\nabla f|_{x_0}\end{Vmatrix}\).

Dove sbaglio?

[anto_zoolander]

forse così ti risulta più chiaro:

$lim_(h->0) [f(x_0+h)-f(x_0)]=lim_(h->0)[||h||*(f(x_0+h)-f(x_0)+nablaf(x_0)*h)/(||h||)+nablaf(x_0)*h]$

[Jokah]

Questa la conoscevo già (in pratica è il duale del caso unidimensionale derivabile implica continua). Tuttavia ho il sospetto che il professore non accetti altre dimostrazioni se non quella presentata in classe (anche se lo trovo fortemente stupido perché magari qualcuno non segue il suo corso).

[anto_zoolander]

Purtroppo queste cose capitano anche a me, è un male che ci accomuna

comunque non capisco perchè consideri(lui) $lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/(||h||)$ che non penso abbia nulla a che fare con la continuità.

Non gli interessa dimostrare che $lim_(h->0) f(x_0+h)-f(x_0)=0$?

[Jokah]

In teoria dovrebbe dimostrare il secondo che alla fine è la definizione se vogliamo di continuità... Non so nemmeno io cosa gli passi per la testa

[anto_zoolander]

Mi dispiace ma non so dove voglia andare a parare, quindi aspetterei qualcuno che magari ha già visto questa dimostrazione da qualche parte.
A questo punto ne sono curioso anche io

C'è una dimostrazione simile per il calcolo di una derivata direzionale nell'ipotesi in cui la funzione sia differenziabile in un punto, ma suppongo non abbia nemmeno nulla a che vedere con questa.

[Jokah]

Ho notato anche io la somiglianza tra le due, ma almeno l'altra riesce a concluderla senza enormi salti logici e per fortuna si riesce a capire!

[otta96]

Volendo, a partire dai passaggi finali che hai fatto tu si deduce $|f(x_0+h)-f(x_0)|/||h||$ è limitato per $||h||$ piccolo, quindi $|f(x_0+h)-f(x_0)|/||h||0}f(x_0+h)=f(x_0)$.
In fondo questi sono solo gli ultimi passaggi della dimostrazione che era già stata citata in precedenza, simile al caso dimensionale, ma perché alla fine i motivi per cui entrambe le cose funzionano sono gli stessi.

[Jokah]

Mi piace come interpretazione, grazie del contributo se passo bene l'esame ti offro la cena!

[otta96]

Accidenti, allora impegnatici