Dimostrazione differenziabilità aiuto su un passaggio

[pasquale.caputo.9028]

Salve ragazzi sto preparando l'esame di analisi 2 e andandomi a ristudiare le nozioni di teoria sto trovando un po di difficolta su questa dimostrazione.. In pratica devo dimostrare il teorema che dice che " Se una funzione $f: AsubeRR^n\rightarrow RR$ ammette il vettore gradiente $\nablaf(\bar x)$ per ogni $\bar x in I_(<\bar a>)$ ed è continuo in $\bar a in A_i$, $A_i$ è l'interno di A $\Rightarrow$ che f è differenziabile"
Nella dimostrazione la prof ha considerato queste ipotesi:
$vv \epsilon>0 EE R_() vv (x,y) in RnnA$ ; $ \bar x=(x,y), \bar a=(x_o,y_o)$ ($vv$ indica per ogni)
Invece come tesi ha messo:
$|f_x(x,y)-f_x(x_o,y_o)|<\epsilon/2$ ; $|f_y(x,y)-f_y(x_o,y_o)|<\epsilon/2$
Io proprio questo $\epsilon/2$ non capisco, perchè avevo pensato che $\epsilon$ fosse il raggio di questo intorno pero perchè poi dopo diventa $\epsilon/2$ nella tesi? Qualcuno mi riesce ad aiutare gentilmente. ops
Se serve posso mettere anche la dimostrazione sviluppata

[anto_zoolander]

Solitamente il teorema è $f in C^(1)(A_i) => f$ $d i f f.$
Volevi forse dire: se il gradiente è una funzione continua?

[pasquale.caputo.9028]

Si infatti ho sbagliato a scrivere ora correggo