Dimostrazione di uno spazio metrico completo
Salve a tutti
Ho il seguente problema
"Dimostrare che $R^2$ dotato della
metrica $d((x_1, x_2); (y_1, y_2))= |x_1-y_1|+arctan(|x_2-y_2|)$
é uno spazio metrico completo".
Sappiamo che uno spazio metrico é completo se ogni sua successione di Cauchy é convergente e che si definisce successione di Cauchy quella successione {a_n} tale che $lim d(a_{n+p}, a_n)=0$.
Ora però non so a prescindere come usare la nostra funzione d per calcolare la distanza tra due successioni.
Forse se definisco ${a_n}$ e ${b_n}$ la distanza tra le due successioni é $d=|n-n|+arctan(|a_n - b_n|)$ ? In questo modo però darei per scontato che $x_2$ e $y_2$ siamo funzioni rispettivamente di $x_1$ e $y_1$.
Mi potreste aiutare. Grazie.
Ho il seguente problema
"Dimostrare che $R^2$ dotato della
metrica $d((x_1, x_2); (y_1, y_2))= |x_1-y_1|+arctan(|x_2-y_2|)$
é uno spazio metrico completo".
Sappiamo che uno spazio metrico é completo se ogni sua successione di Cauchy é convergente e che si definisce successione di Cauchy quella successione {a_n} tale che $lim d(a_{n+p}, a_n)=0$.
Ora però non so a prescindere come usare la nostra funzione d per calcolare la distanza tra due successioni.
Forse se definisco ${a_n}$ e ${b_n}$ la distanza tra le due successioni é $d=|n-n|+arctan(|a_n - b_n|)$ ? In questo modo però darei per scontato che $x_2$ e $y_2$ siamo funzioni rispettivamente di $x_1$ e $y_1$.
Mi potreste aiutare. Grazie.
Risposte
Fai una confusione densa, nel senso che tra due errori ne giace un terzo. Dovresti rileggere con calma ciascuna delle definizioni che invochi.
Prima di tutto la definizione di successione di Cauchy che dai è sbagliata.
In secondo luogo, la distanza $d$ è definita su $\mathbb R^2$, non sullo spazio delle successioni a valori in $\mathbb R^2$.
In terzo luogo, $d$ non fa assolutamente quel che hai scritto per $a_n$ e $b_n$ (le quali, in questa definizione, sono successioni di reali e non di vettori di $\mathbb R^2$).
In ultimo luogo, non ha alcun senso "dare per scontato che $x_2, y_2$ siano funzioni di $x_1,y_1$".
Prima di tutto la definizione di successione di Cauchy che dai è sbagliata.
In secondo luogo, la distanza $d$ è definita su $\mathbb R^2$, non sullo spazio delle successioni a valori in $\mathbb R^2$.
In terzo luogo, $d$ non fa assolutamente quel che hai scritto per $a_n$ e $b_n$ (le quali, in questa definizione, sono successioni di reali e non di vettori di $\mathbb R^2$).
In ultimo luogo, non ha alcun senso "dare per scontato che $x_2, y_2$ siano funzioni di $x_1,y_1$".
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