Dimostrazione di unicità del limite corretta?

[andriy84-votailprof]

Salve, volevo proporvi una pseudo-dimostrazione del teorema di unictà del limite da me fatta. Volevo sapere se è lecito fare i passaggi che adesso vi illustrerò:

Siano, per assurdo, l ed m due limiti della stessa funzione, con m>l;

Per la definizione di limite deve accadere contemporaneamente che:

|f(x)-l| |f(x)-m|
Adesso, se sottraiamo membro a membro (è lecito farlo?) otteniamo:

|-l+m|<0 cioè una quantità positiva minore di zero, cioè assurdo. Quindi il teorema è dimostrato.

Volevo sapere se tale dimostrazione è giusta o no! Grazie per la disponibilità!

[matematicoestinto]

E' sbagliatissimo!

$|x|-|y|<>|x-y|$. Prova ad esempio a sostituire ad x un numero negativo e a y uno positivo!

[andriy84-votailprof]

ok, scusa la mia inaccuratezza! Allora potresti spiegarmi come si dimostra questo teorema utilizzando solo la definizione di limite? Grazie, e scusa ancora

[Kroldar]

Sia $f:RRtoRR$ e supponiamo che $f$ ammetta due limiti distinti... chiamiamoli come hai suggerito tu $m$ ed $l$. Per come è strutturato $RR$ è sicuramente possibile scegliere un intorno di $m$ e un intorno di $l$ la cui intersezione sia vuota... allora visto che è possibile fare questa scelta, facciamola! La scelta di questi due intorni distinti (uno di $m$ e uno di $l$) determina altrettanti intorni di un punto dell'asse delle $x$... chiamiamolo $x_0$. I due intorni di $x_0$, sebbene in generale non coincidano, hanno un'intersezione (chiamiamola $J_x$) che non è vuota perché contiene almeno $x_0$ (a dire il vero contiene una infinità non numerabile di punti!!). Consideriamo ora le immagini tramite $f$ dei punti di $J_x$... non sembra anche a te che le cose non quadrino?