Dimostrazione di una strana diseguaglianza (Huygens)
Provare che $\forall x| 0
Mi rendo conto possa sembrare banale ma, almeno per me, non lo è.
Ho seguito - e sto seguendo - due strade, direi le più classiche.
Una praticamente è risolvere la disequazione $2sinx+tanx-3x>=0$. Arrivo a scrivere $\frac{sin(2x)+sinx-3xcosx}{cosx}>=0$ o, il che è lo stesso, $\frac{sin(3/2x)cos(x/2)-3xcosx}{cosx}>=0$, ma non mi pare molto utile.
Another way consiste nel partire dalle condizioni su $x$. Essendo nel primo quadrante so che $sinx>=0$ e anche $sin2x>=0$ cioè $sin2x+ sinx>=0$. Dividendo tutto per il coseno (anch'egli positivo e mai nullo nel primo quadrante) posso dire $2sinx+tanx>=0$. E dal momento che $tanx>x$, avrò che, a maggior ragione, $2sinx+tanx>x$. E ora, come concludere?
Va detto poi, che mi riservo anche di utilizzare qualche Teorema di Analisi I. Il problema è che non so come applicarlo (pensavo a Lagrange o al massimo Cauchy, di solito tornano utili in queste dimostrazioni; ma non vedo dove poterlo applicare).
Un ringraziamento in anticipo a chi mi aiuterà.
Paolo
Mi rendo conto possa sembrare banale ma, almeno per me, non lo è.
Ho seguito - e sto seguendo - due strade, direi le più classiche.
Una praticamente è risolvere la disequazione $2sinx+tanx-3x>=0$. Arrivo a scrivere $\frac{sin(2x)+sinx-3xcosx}{cosx}>=0$ o, il che è lo stesso, $\frac{sin(3/2x)cos(x/2)-3xcosx}{cosx}>=0$, ma non mi pare molto utile.
Another way consiste nel partire dalle condizioni su $x$. Essendo nel primo quadrante so che $sinx>=0$ e anche $sin2x>=0$ cioè $sin2x+ sinx>=0$. Dividendo tutto per il coseno (anch'egli positivo e mai nullo nel primo quadrante) posso dire $2sinx+tanx>=0$. E dal momento che $tanx>x$, avrò che, a maggior ragione, $2sinx+tanx>x$. E ora, come concludere?
Va detto poi, che mi riservo anche di utilizzare qualche Teorema di Analisi I. Il problema è che non so come applicarlo (pensavo a Lagrange o al massimo Cauchy, di solito tornano utili in queste dimostrazioni; ma non vedo dove poterlo applicare).
Un ringraziamento in anticipo a chi mi aiuterà.
Paolo
Risposte
Potresti sfruttare il fatto che $("d")/("d"x)(2sinx+tanx)|_(x=0)=3$.
Ma puoi usare gli strumenti dello studio di funzione? Se si, ti possono tornare utili.
Non ho limitazioni, posso usare tutto ciò che voglio (meglio, tutto ciò che so, quindi mi sa che non uso molto...)
Avevo pensato anche io di passare attraverso l'Analisi, ma non so come. Intanto, elgiovo, grazie per il tuo suggerimento, anche se non sono ancora stato in grado di individuare il punto in cui applicare ciò che dici tu.
Se avete ancora suggerimenti, dite pure.
Grazie intanto.
)Avevo pensato anche io di passare attraverso l'Analisi, ma non so come. Intanto, elgiovo, grazie per il tuo suggerimento, anche se non sono ancora stato in grado di individuare il punto in cui applicare ciò che dici tu.
Se avete ancora suggerimenti, dite pure.
Grazie intanto.
Quello che ho scritto su significa che la retta tangente in $x=0$ (che oltretutto è punto di flesso) al grafico di $2sinx+tanx$ ha equazione $y=3x$. Vedi se può tornarti utile...
"elgiovo":
Quello che ho scritto su significa che la retta tangente in $x=0$ (che oltretutto è punto di flesso) al grafico di $2sinx+tanx$ ha equazione $y=3x$. Vedi se può tornarti utile...
Sì, sì, certo. E' il significato geometrico della derivata, ovvio. Tracciando un grafico approssimativo si vede che tale retta non interseca più la funzione $f(x)$ nell'intervallo $]0, pi/2[$ ma che giace sempre al di sotto del suo grafico.
Come dimostrarlo però in maniera rigorosa? Mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua, vero?
Scusate e grazie ancora.
ciao paolo
ti suggerisco un altro metodo che può esserti utile: in termini terra-terra, studia la funzione $2sin\ x+tan\ x-3x$ per $x\in(0, pi/2)$.
(quindi calcola il limite per $x\ to0$, la derivata prima, studiane il segno...succede una cosa simpatica).
ti suggerisco un altro metodo che può esserti utile: in termini terra-terra, studia la funzione $2sin\ x+tan\ x-3x$ per $x\in(0, pi/2)$.
(quindi calcola il limite per $x\ to0$, la derivata prima, studiane il segno...succede una cosa simpatica).
Si può ragionare per concavità. $x=0$ è un punto di flesso, quindi la funzione cambia la sua concavità dal basso all'alto. La funzione è almeno di classe $C^2$ su $[0,pi/2[$, dunque perchè intersechi la retta $y=3x$ deve necessariamente cambiare concavità. Studiando il segno della derivata seconda si verifica che ciò non accade nell'intervallo preso in considerazione.
Con i miei interventi sto incasinando la situazione: ti consiglio di seguire i suggerimenti di elgiovo.
Comunque ecco la soluzione col metodo "forza bruta" che dicevo prima:
passo e chiudo!
Comunque ecco la soluzione col metodo "forza bruta" che dicevo prima:
passo e chiudo!
Ora è decisamente molto più chiaro. Dissonance, grazie mille, ero quasi arrivato autonomamente con i tuoi stessi passaggi alla conclusione.
Per quanto riguarda elgiovo, è vero, hai proprio ragione. Elegante come metodo, ma personalmente non ci sarei mai arrivato. Comunque grazie mille ad entrambi per l'aiuto.
Grazie.
Per quanto riguarda elgiovo, è vero, hai proprio ragione. Elegante come metodo, ma personalmente non ci sarei mai arrivato. Comunque grazie mille ad entrambi per l'aiuto.
Grazie.
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