Dimostrazione di una serie attraverso un´altra
Ciao a tutti ,
come da titolo devo dimostrare la seguente serie:
$\sum_{k=0}^infty 1/((2k+1)^4)$$ = (pi^4)/96$
atraverso la seguente serie:
$\sum_{k=1}^infty 1/((k^4)$$ = (pi^4)/90$
Come consiglio mi é stato dato di scomporre la prima serie per k pari e k dispari.
per k dispari ho trovato:
$\sum_{k=1}^infty 1/((k+4)^4)$$ = \sum_{k=0}^infty 1/((2k+1)^4)$
per k pari non so che pesce prendere e sinceramente non da dove partire e se il procedimento che ho fatto sopra é concesso..
come da titolo devo dimostrare la seguente serie:
$\sum_{k=0}^infty 1/((2k+1)^4)$$ = (pi^4)/96$
atraverso la seguente serie:
$\sum_{k=1}^infty 1/((k^4)$$ = (pi^4)/90$
Come consiglio mi é stato dato di scomporre la prima serie per k pari e k dispari.
per k dispari ho trovato:
$\sum_{k=1}^infty 1/((k+4)^4)$$ = \sum_{k=0}^infty 1/((2k+1)^4)$
per k pari non so che pesce prendere e sinceramente non da dove partire e se il procedimento che ho fatto sopra é concesso..
Risposte
Io ti consiglio di procedere in questo modo:
[tex]$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k)^4}+\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^4}[/tex]
Questo procedimento è lecito perchè le serie che intervengono sono a termini positivi e convergenti, non vale in generale.
[tex]$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^4}=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} - \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k)^4}[/tex]. Dobbiamo determinare la somma:
[tex]$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k)^4}= \frac{1}{2^4}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4}[/tex]. Siamo a cavallo
, infatti:
[tex]$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^4}=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} - \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k)^4}=[/tex]
[tex]$= \left(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4}\right) - \frac{1}{2^4}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4}= \left(\frac{15}{16}\right)\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4}[/tex].
Da qui è facile concludere, visto che conosciamo il valore dell'ultima somma
[tex]$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k)^4}+\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^4}[/tex]
Questo procedimento è lecito perchè le serie che intervengono sono a termini positivi e convergenti, non vale in generale.
[tex]$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^4}=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} - \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k)^4}[/tex]. Dobbiamo determinare la somma:
[tex]$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k)^4}= \frac{1}{2^4}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4}[/tex]. Siamo a cavallo
, infatti:[tex]$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^4}=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} - \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k)^4}=[/tex]
[tex]$= \left(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4}\right) - \frac{1}{2^4}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4}= \left(\frac{15}{16}\right)\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4}[/tex].
Da qui è facile concludere, visto che conosciamo il valore dell'ultima somma
"Mathematico":
Io ti consiglio di procedere in questo modo:
[tex]$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k)^4}+\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^4}[/tex]
Questo procedimento è lecito perchè le serie che intervengono sono a termini positivi e convergenti, non vale in generale.
[tex]$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^4}=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} - \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k)^4}[/tex]. Dobbiamo determinare la somma:
[tex]$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k)^4}= \frac{1}{2^4}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4}[/tex]. Siamo a cavallo
[tex]$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^4}=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} - \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k)^4}=[/tex]
[tex]$= \left(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4}\right) - \frac{1}{2^4}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4}= \left(\frac{15}{16}\right)\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4}[/tex].
Da qui è facile concludere, visto che conosciamo il valore dell'ultima somma
grazie! ti volevo chiedere come hai fatto per il primo passaggio a trovare le due serie risultanti? nel senso sostituito k =1, 2, 3 ,4 ,5 ecc diviso i casi per pari e dispari e poi dedotto o c´é un metodo per fare ciö? a me sembra troppo astratta come cosa!
perché con la stessa serie $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4}$
dovrei dimostrare anche un altra serie..
ovvero:$\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^(k+1)}{(k)^4}$$=7/ 720 *pi$
Ho semplicemente splittato la serie
$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4}$, mettendo in evidenza le somme dei termini pari e le somme dei termini dispari
, è un trucchetto che si usa spesso nelle serie (quando è possibile, visto che c'è il teorema di Riemann-Dini sempre in agguato ).
Per la seconda non hai nessuna idea? Provaci, altrimenti non posso aiutarti
[Anzi mi scuso con i moderatori per il mio messaggio precedente, mi sono fatto prendere la mano]
$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4}$, mettendo in evidenza le somme dei termini pari e le somme dei termini dispari
, è un trucchetto che si usa spesso nelle serie (quando è possibile, visto che c'è il teorema di Riemann-Dini sempre in agguato ).Per la seconda non hai nessuna idea? Provaci, altrimenti non posso aiutarti
[Anzi mi scuso con i moderatori per il mio messaggio precedente, mi sono fatto prendere la mano
]
"Mathematico":
Ho semplicemente splittato la serie
$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4}$, mettendo in evidenza le somme dei termini pari e le somme dei termini dispari
Per la seconda non hai nessuna idea? Provaci, altrimenti non posso aiutarti
[Anzi mi scuso con i moderatori per il mio messaggio precedente, mi sono fatto prendere la mano
ok ci provo.
ak massimo posto se non riesco in qualche passaggio comunque i due termini che trovo usando " il teorema dello splittamento della serie" valgono entrambi per qualsiasi valore di k, non é che uno vale per k dispari e l´altro per k pari o no? 
Il trucco è questo:
Invece di modificare l'indice della sommatoria, si fa in modo che ad ogni k venga associato un numero pari, e un numero dispari.
Nel caso delle somme dei termini pari sostituisci ad ogni occorrenza di $k$ il termine $2k$ (che è pari per evidenti motivi). Nel caso delle somme dispari invece sostituisci a k il termine $2k+1$ che è dispari (2k è pari, il successivo di un numero pari è dispari e quindi 2k+1 è dispari)
Quindi sotto, opportune ipotesi, la serie:
$\sum_{k=1}^\infty a_k = \sum_{k=0}^\infty a_{2k+1}+\sum_{k=1}^\infty a_{2k}$.
Porgi sempre attenzione ai valori di partenza della serie, mi raccomando
Invece di modificare l'indice della sommatoria, si fa in modo che ad ogni k venga associato un numero pari, e un numero dispari.
Nel caso delle somme dei termini pari sostituisci ad ogni occorrenza di $k$ il termine $2k$ (che è pari per evidenti motivi). Nel caso delle somme dispari invece sostituisci a k il termine $2k+1$ che è dispari (2k è pari, il successivo di un numero pari è dispari e quindi 2k+1 è dispari)
Quindi sotto, opportune ipotesi, la serie:
$\sum_{k=1}^\infty a_k = \sum_{k=0}^\infty a_{2k+1}+\sum_{k=1}^\infty a_{2k}$.
Porgi sempre attenzione ai valori di partenza della serie, mi raccomando
"Mathematico":
Il trucco è questo:
Invece di modificare l'indice della sommatoria, si fa in modo che ad ogni k venga associato un numero pari, e un numero dispari.
Nel caso delle somme dei termini pari sostituisci ad ogni occorrenza di $k$ il termine $2k$ (che è pari per evidenti motivi). Nel caso delle somme dispari invece sostituisci a k il termine $2k+1$ che è dispari (2k è pari, il successivo di un numero pari è dispari e quindi 2k+1 è dispari)
Quindi sotto, opportune ipotesi, la serie:
$\sum_{k=1}^\infty a_k = \sum_{k=0}^\infty a_{2k+1}+\sum_{k=1}^\infty a_{2k}$.
Porgi sempre attenzione ai valori di partenza della serie, mi raccomando
grazie , mi chiedo perché il mio Prof non spieghi cosí!
per il secondo esercizio non trovo un punto di partenza. ho provato a portare fuori il meno 1 dalla serie ma non mi sembra una cosa molto logica...devo analizzare anche qui i termini pari e dispari della serie $\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^(k+1)}{(k)^4}$$=7/ 720 *pi$ ?
chiedo solo un piccolo aiutino...
chiedo solo un piccolo aiutino...
"DarioBaldini":
per il secondo esercizio non trovo un punto di partenza. ho provato a portare fuori il meno 1 dalla serie ma non mi sembra una cosa molto logica...devo analizzare anche qui i termini pari e dispari?
Non puoi portare fuori il $(-1)^(k+1) $ poichè dipende dall'indice di sommatoria. Sì, io consiglio di procedere come prima, ricordando che
$(-1)^(2k+1) = -1\qquad AA k\in \mathbb{N}$ e
$(-1)^(2k) = 1\qquad AA k\in \mathbb{N}$
Parti scrivendo esplicitamente la somma dei termini dispari e pari (fallo tu, così vediamo se ti è chiaro) e poi facciamo le considerazioni opportune
PS: il tuo prof non spiega così perchè altrimenti verrebbe licenziato seduta stante
.
"Mathematico":
[quote="DarioBaldini"]per il secondo esercizio non trovo un punto di partenza. ho provato a portare fuori il meno 1 dalla serie ma non mi sembra una cosa molto logica...devo analizzare anche qui i termini pari e dispari?
Non puoi portare fuori il $(-1)^(k+1) $ poichè dipende dall'indice di sommatoria. Sì, io consiglio di procedere come prima, ricordando che
$(-1)^(2k+1) = -1\qquad AA k\in \mathbb{N}$ e
$(-1)^(2k) = 1\qquad AA k\in \mathbb{N}$
Parti scrivendo esplicitamente la somma dei termini dispari e pari (fallo tu, così vediamo se ti è chiaro) e poi facciamo le considerazioni opportune
PS: il tuo prof non spiega così perchè altrimenti verrebbe licenziato seduta stante
.[/quote]allora praticamente ho trovato la soluzione ma con segno opposto!
attraversp le proprieta delle potenze ho tolto k+1 e ottenuto k
$ (-1)^k/ k^4 = (-1)^(2k+1) / (2k+1)^4 + (-1)^2k / (2k)^4
il primo termine a destra lo conosco dall´esercizio di prima il secondo porto il due fuori e sviluppando fino alla fine ottengo tutto giusto ma con il meno davanti!!?? perché??
"Mathematico":
[quote="DarioBaldini"]per il secondo esercizio non trovo un punto di partenza. ho provato a portare fuori il meno 1 dalla serie ma non mi sembra una cosa molto logica...devo analizzare anche qui i termini pari e dispari?
Non puoi portare fuori il $(-1)^(k+1) $ poichè dipende dall'indice di sommatoria. Sì, io consiglio di procedere come prima, ricordando che
$(-1)^(2k+1) = -1\qquad AA k\in \mathbb{N}$ e
$(-1)^(2k) = 1\qquad AA k\in \mathbb{N}$
Parti scrivendo esplicitamente la somma dei termini dispari e pari (fallo tu, così vediamo se ti è chiaro) e poi facciamo le considerazioni opportune
PS: il tuo prof non spiega così perchè altrimenti verrebbe licenziato seduta stante
.[/quote]allora praticamente ho trovato la soluzione ma con segno opposto!
attraversp le proprieta delle potenze ho tolto k+1 e ottenuto k
$ sum_{k=1}^\infty (-1)^k/ k^4 = sum_{k=0}^\infty (-1)^(2k+1) / (2k+1)^4 +sum_{k=1}^\infty (-1)^(2k)/ (2k)^4$
il primo termine a destra lo conosco dall´esercizio di prima il secondo porto il due fuori e sviluppando fino alla fine ottengo tutto giusto ma con il meno davanti!!?? perché??
In pratica tu hai fatto
[tex]$\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k^4} = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1) (-1)^k }{k^4} = -\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^4}[/tex]
Osserva che il segno meno non scompare nel nulla, ma lo porti fuori dalla sommatoria (!!)
Una domandina: perchè siamo tranquilli che le cose funzionano come dovrebbero funzionare, nonostante abbiamo serie a segno alterno?
[Edit]: prima di rispondere alla domanda, mi chiedo se ho chiarito il tuo dubbio
[tex]$\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k^4} = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1) (-1)^k }{k^4} = -\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^4}[/tex]
Osserva che il segno meno non scompare nel nulla, ma lo porti fuori dalla sommatoria (!!)
Una domandina: perchè siamo tranquilli che le cose funzionano come dovrebbero funzionare, nonostante abbiamo serie a segno alterno?
[Edit]: prima di rispondere alla domanda, mi chiedo se ho chiarito il tuo dubbio
"Mathematico":
In pratica tu hai fatto
[tex]$\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k^4} = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1) (-1)^k }{k^4} = -\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^4}[/tex]
Osserva che il segno meno non scopare nel nulla, ma lo porti fuori dalla sommatoria (!!)
Una domandina: perchè siamo tranquilli che le cose funzionano come dovrebbero funzionare, nonostante abbiamo serie a segno alterno?
[Edit]: prima di rispondere alla domanda, mi chiedo se ho chiarito il tuo dubbio
scusami ma non ho capito la tua domanda
....praticamente la serie sopra dovrebbe essere elavata alla -k é questo che intendi?
"DarioBaldini":
scusami ma non ho capito la tua domanda
Lascia perdere per ora la domanda che ti ho posto, hai risolto l'esercizio?
Alla domanda mi autorispondo, le cose funzionano come dovrebbero perchè abbiamo una serie assolutamente convergente, pertanto la somma non dipende dalla permutazione degli addendi.
Mi sono reso conto che forse non hai ancora visto il teorema di Riemann - Dini. Scusa
. Fammi sapere se ti torna l'esercizio
"Mathematico":
[quote="DarioBaldini"]s
scusami ma non ho capito la tua domanda
Lascia perdere per ora la domanda che ti ho posto, hai risolto l'esercizio?
Alla domanda mi autorispondo, le cose funzionano come dovrebbero perchè abbiamo una serie assolutamente convergente, pertanto la somma non dipende dalla permutazione degli addendi.
Mi sono reso conto che forse non hai ancora visto il teorema di Riemann - Dini. Scusa
. Fammi sapere se ti torna l'esercizio
[/quote]si l´esercizio con il tuo accorgimento torna!
grazie! ora ho capito un trucco in piü sulle serie
"DarioBaldini":
si l´esercizio con il tuo accorgimento torna!
Meno male, pensavo di essere stato troppo confusionario (come al solito
)
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