Dimostrazione di una proposizione per assurdo.
Buonasera,
vi chiedevo se fosse possibile dimostrare per assurdo, la seguente proposizione:
Se
$f(x) to l$ con $l ge 0 , l ne 1$
\(\displaystyle f(x) \simeq g(x) \) $x to x_0.$
Allora per ogni $a>0$, $a ne 1 $ si ha che
\(\displaystyle log_a (f(x)) \simeq log_a(g(x)) \) $ x to x_0$
vi chiedevo se fosse possibile dimostrare per assurdo, la seguente proposizione:
Se
$f(x) to l$ con $l ge 0 , l ne 1$
\(\displaystyle f(x) \simeq g(x) \) $x to x_0.$
Allora per ogni $a>0$, $a ne 1 $ si ha che
\(\displaystyle log_a (f(x)) \simeq log_a(g(x)) \) $ x to x_0$
Risposte
Quella è una cosa vera e tutte le cose vere si possono dimostrare per assurdo, anche se la dimostrazione è artificiosa.
In questo caso mi sembra una forzatura voler fare questa dimostrazione proprio per assurdo, viene molto più naturalmente una dimostrazione diretta. Più che altro perché è un po' una rogna dover negare che i limiti di $2$ funzioni siano uguali.
Insomma, perché volevi fare la dimostrazione per assurdo?
In questo caso mi sembra una forzatura voler fare questa dimostrazione proprio per assurdo, viene molto più naturalmente una dimostrazione diretta. Più che altro perché è un po' una rogna dover negare che i limiti di $2$ funzioni siano uguali.
Insomma, perché volevi fare la dimostrazione per assurdo?
Ciao otta96, grazie per la risposta.
perchè fa vedere che la condizione $l ne 1$ è necessaria, e lo dimostra con un controesempio.
Quindi supponevo che si potesse dimostrare anche per assurdo, tutto quì.
Ti riporto la mia "sicuramente sbagliata e non completa" dimostrazione :
Supponiamo che
$log_(f(x)) to l_1 $ per $x to x_0$
$log_(g(x)) to l_2 $ per $x to x_0$
Primo passaggio dobbiamo negare la tesi, ovvero
\(\displaystyle log_a(f(x)) \not\sim log_a(g(x)) \).
Quindi dalla definizione di equivalenza asintotica si ha:
$lim log_a(f(x)) \ne lim log_a(g(x)) to lim (log_a(f(x))-log_a(g(x))) =(l_1-l_2) =l \ne 0 $
Dobbiamo considerare quattro casi
1. $l ne 0$
2. $l<0$
3. $l>0$
4. $l ne 1$
Consideriamo il 1.
per ipotesi $l=0$, quindi è assurdo.
Per i punti 2. e 3.
possiamo procedere nel seguente modo :
essendo che $l_1-l_1 ne 0 to l_1 ne l_2$
l'operazione di composizione rispetto all'equivalenza asintotica, ci porta a dire che
\(\displaystyle f(x) \not\sim g(x) \).
Ma questo è assurdo, in quanto risulta per ipotesi \(\displaystyle f(x) \sim g(x) \).
"questo non è molto chiaro l'ammetto"
Ora rimane il punto 4. non so come procedere.
Ciao
perchè fa vedere che la condizione $l ne 1$ è necessaria, e lo dimostra con un controesempio.
Quindi supponevo che si potesse dimostrare anche per assurdo, tutto quì.
Ti riporto la mia "sicuramente sbagliata e non completa" dimostrazione :
Supponiamo che
$log_(f(x)) to l_1 $ per $x to x_0$
$log_(g(x)) to l_2 $ per $x to x_0$
Primo passaggio dobbiamo negare la tesi, ovvero
\(\displaystyle log_a(f(x)) \not\sim log_a(g(x)) \).
Quindi dalla definizione di equivalenza asintotica si ha:
$lim log_a(f(x)) \ne lim log_a(g(x)) to lim (log_a(f(x))-log_a(g(x))) =(l_1-l_2) =l \ne 0 $
Dobbiamo considerare quattro casi
1. $l ne 0$
2. $l<0$
3. $l>0$
4. $l ne 1$
Consideriamo il 1.
per ipotesi $l=0$, quindi è assurdo.
Per i punti 2. e 3.
possiamo procedere nel seguente modo :
essendo che $l_1-l_1 ne 0 to l_1 ne l_2$
l'operazione di composizione rispetto all'equivalenza asintotica, ci porta a dire che
\(\displaystyle f(x) \not\sim g(x) \).
Ma questo è assurdo, in quanto risulta per ipotesi \(\displaystyle f(x) \sim g(x) \).
"questo non è molto chiaro l'ammetto"
Ora rimane il punto 4. non so come procedere.
Ciao
Dobbiamo considerare quattro casi
1. $l ne 0$
2. $l<0$
3. $l>0$
4. $l ne 1$
In realtà volendo ne bastano $2$, il secondo e il terzo.
Consideriamo il 1.
per ipotesi $l=0$, quindi è assurdo.
Per i punti 2. e 3.
possiamo procedere nel seguente modo :
essendo che $l_1-l_1 ne 0 to l_1 ne l_2$
Questa cosa dei casi non l'hai usata in nessun modo e hai fatto dei passaggi molto confusi, potevi concludere direttamente che $l_1 ne l_2$, è una banalità
l'operazione di composizione rispetto all'equivalenza asintotica, ci porta a dire che
\(\displaystyle f(x) \not\sim g(x) \).
Ma questo è assurdo, in quanto risulta per ipotesi \(\displaystyle f(x) \sim g(x) \).
Qui stai usando che l'esponenziale è una funzione continua e iniettiva.
Ma il vero problema è a monte: quando dici
"galles90":
Primo passaggio dobbiamo negare la tesi, ovvero
\(\displaystyle log_a(f(x)) \not\sim log_a(g(x)) \).
Quindi dalla definizione di equivalenza asintotica si ha:
$lim log_a(f(x)) \ne lim log_a(g(x)) to lim (f(x)-g(x)) =(l_1-l_2) =l \ne 0 $
La negazione di: "i limiti delle due funzioni sono uguali" non è "i limiti delle due funzioni sono diversi" perché non sai a priori se esistono, in quel caso andrebbe bene.
Scusami otta96, era presente all'inizio della dimostrazione un errore di battitura che ho corretto 
In effetti potremmo dire grazie alle proprietà dell'esponenziale
\(\displaystyle log_a(f(x))\not\sim log_a(g(x)) \to f(x) \not\sim g(x) \)
di conseguenza
\(\displaystyle f(x) \not\sim g(x) \to \lim_{x \to x_0} f(x) \ne \lim_{x \to x_0} g(x) \).
In questo modo non sto dicendo nulla sull'esistenza del limite della funzine $g$.
Cosi va bene ?
In effetti potremmo dire grazie alle proprietà dell'esponenziale
\(\displaystyle log_a(f(x))\not\sim log_a(g(x)) \to f(x) \not\sim g(x) \)
di conseguenza
\(\displaystyle f(x) \not\sim g(x) \to \lim_{x \to x_0} f(x) \ne \lim_{x \to x_0} g(x) \).
In questo modo non sto dicendo nulla sull'esistenza del limite della funzine $g$.
Cosi va bene ?
"galles90":
In questo modo non sto dicendo nulla sull'esistenza del limite della funzine $g$.
Però parli di $\lim_{x \to x_0} g(x)$, quindi implicitamente stai assumendo che esista.
buongiorno e buon anno otta96.
Scusami,dato la mia forte bravura in questo ambito , ti chiedo :
la dimostrazione per assurdo comporta nel negare la tesi e prendere per buono le ipotesi, per poi ad arrivare ad una contraddizione delle ipotesi.
E' corretto ?
Per cui analizzando la proposizione proposta, le ipotesi sono quelle prime di allora, la tesi invece è quella dopo di allora.
Se fosse cosi, quindi sono già arrivato ad una contraddizione dell'ipotesi in quanto:
negazione tesi:
contraddione ipotesi:
Scusami,dato la mia forte bravura in questo ambito
, ti chiedo :la dimostrazione per assurdo comporta nel negare la tesi e prendere per buono le ipotesi, per poi ad arrivare ad una contraddizione delle ipotesi.
E' corretto ?
Per cui analizzando la proposizione proposta, le ipotesi sono quelle prime di allora, la tesi invece è quella dopo di allora.
Se fosse cosi, quindi sono già arrivato ad una contraddizione dell'ipotesi in quanto:
negazione tesi:
"galles90":
\( \displaystyle log_a(f(x))\not\sim log_a(g(x)) \)
contraddione ipotesi:
"galles90":
\( \displaystyle f(x) \not\sim g(x) \)
"galles90":
buongiorno e buon anno otta96.
Altrettanto
Scusami, dato la mia forte bravura in questo ambito
la dimostrazione per assurdo comporta nel negare la tesi e prendere per buono le ipotesi, per poi ad arrivare ad una contraddizione delle ipotesi.
E' corretto ?
Certo.
Per cui analizzando la proposizione proposta, le ipotesi sono quelle prime di allora, la tesi invece è quella dopo di allora.[/quote]
Se fosse cosi, quindi sono già arrivato ad una contraddizione dell'ipotesi in quanto:
negazione tesi:
"galles90":
\( \displaystyle log_a(f(x))\not\sim log_a(g(x)) \)
contraddione ipotesi:
[quote="galles90"]
\( \displaystyle f(x) \not\sim g(x) \)
Eh ma come ti ho già detto non hai negato correttamente la tesi.
Buongiorno,
penso di aver capito dove sbaglio, dovrei ragionare in questo modo, prendendo spunto da questo:
quindi dovrei negare l'esistenza del limite. Ora non riporto la negazione, perchè non se è corretto il ragionamento.
Ciao
penso di aver capito dove sbaglio, dovrei ragionare in questo modo, prendendo spunto da questo:
\(\displaystyle h(x) \sim z(x) \) $ to lim_{x \to x_0} h(x)=lim_{x \to x_0} z(x) \to lim_{x \to x_0} (h(x))/(z(x))=1$
quindi dovrei negare l'esistenza del limite. Ora non riporto la negazione, perchè non se è corretto il ragionamento.
Ciao
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