Dimostrazione di una funzione

[handuup]

Buonasera. Mi sono imbattuto in questo esercizio sulle funzioni: sia $f(x) = x(x-e^(-x))$
1) Dimostrare che f(x)=1 ammette almeno una soluzione nell'intervallo [0;2].
2) Dimostrare che f(x)=1 ammette almeno 2 soluzioni in R. Come faccio? Devo per caso usare il teorema dei valori intermedi?

[Bremen000]

Sia $g(x)= f(x)-1 = x(x-e^{-x})-1$

$g$ è continua?
$g(0)=$?
$g(2)=$?

Cosa si può dire?

[handuup]

Grazie per la risposta.avevo letto un corollario sugli appunti che diceva che se f è continua in un intervallo $I[a;b]$ e $f(a)*f(b)<0$ allora esiste x appartenente a I tale che f(x)=0. In pratica ho calcolato $f(0)=-1$ (che tu hai chiamato $g(x)$) e $f(2)=3-(2/e^(2))$ e ho visto che il prodotto è minore di 0 quindi esiste per forza una soluzione in questo intervallo. Questo intendevi dire? La seconda parte non so come si fa....

[Bremen000]

Ciao, che corollario? Quello che citi è il teorema di esistenza degli zeri! E l'applicazione che ne hai fatto è corretta, hai dimostrato che esiste $x \in [0,2] : g(x)=0$ ovvero esiste $x \in [0,2] : f(x)=1$.

Per la seconda parte prova un po' a guardare questa funzione $g(x)$ come è fatta, abbozza un grafico e vedrai che trovi un bell'intervallo in cui applicare di nuovo il teorema di esistenza degli zeri!

[handuup]

Grazie per la risposta. Non pensavo fosse un teorema visto che sulle dispense c'è scritto corollario. Domani cerco di dividerlo e ti farò sapere