Dimostrazione di un teorema sulle funzioni implicite
Salve,volevo chiedervi un aiuto a risolvere,un esercizio di analisi 1,che mi risulta molto difficile.Se non vi reca disturbo,potreste aiutarmi?
L'esercizio è questo:
"Dimostrare il seguente teorema globale sulle funzioni implicite.
Sia \( g:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} \) tale che:
i) \( g \in C(\mathbb{R}^2) \) ,esiste \( g_y(x,y) \) , \( \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 \) ed è positiva
ii) \( lim_{y \rightarrow +\infty}g(x,y)>0 \) e \( lim_{y \rightarrow -\infty}g(x,y)<0 \), \( \forall x \in \mathbb{R} \).Se inoltre \( g \in C^k(\mathbb{R }) \) anche \( f \in C^k(\mathbb{R }) \) , \( k \in \mathbb{N} \) oppure $k=oo$."
Io ho pensato che dovevo trovare un modo di ricondurre questo teorema a quello di Dini(per verificare l'esistenza di $f$) ,ma non so come fare.
L'esercizio è questo:
"Dimostrare il seguente teorema globale sulle funzioni implicite.
Sia \( g:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} \) tale che:
i) \( g \in C(\mathbb{R}^2) \) ,esiste \( g_y(x,y) \) , \( \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 \) ed è positiva
ii) \( lim_{y \rightarrow +\infty}g(x,y)>0 \) e \( lim_{y \rightarrow -\infty}g(x,y)<0 \), \( \forall x \in \mathbb{R} \).Se inoltre \( g \in C^k(\mathbb{R }) \) anche \( f \in C^k(\mathbb{R }) \) , \( k \in \mathbb{N} \) oppure $k=oo$."
Io ho pensato che dovevo trovare un modo di ricondurre questo teorema a quello di Dini(per verificare l'esistenza di $f$) ,ma non so come fare.
Risposte
Ciao,
non mi è chiaro cosa sia $f$...
non mi è chiaro cosa sia $f$...
funzione $f(x)=y$ è "l'esplicitazione" della funzione $g(x,y)=g(x,f(x))$.
"mklplo":
un esercizio di analisi 1
Analisi 1?
sì,se il libro era di analisi 1(o almeno credo che lo sia,il libro è il Pagani-Salsa volume 1),penso che anche l'esercizio lo sia.
"mklplo":
Io ho pensato che dovevo trovare un modo di ricondurre questo teorema a quello di Dini(per verificare l'esistenza di $f$) ,ma non so come fare.
No, questo è un caso in cui puoi risolvere l'equazione in modo più semplice. In effetti questo è un "toy model" del teorema del Dini. Devi risolvere l'equazione \(g(x, y)=0\) usando il teorema degli zeri. Non ti scoraggiare se non ci riesci, questo esercizio richiede una certa maturità matematica.
Grazie dell'aiuto.Da quel che so,per il teorema degli zeri esiste una coppia $(x_0,y_0)$,tali che $g(x_0,y_0)=0$,e dato che $g_y(x_0,y_0) >0$,ho anche un'altra ipotesi sul teorema di Dini.Ora devo dimostrare la derivabilità(su questo ci devo pensare ancora un po').Per sapere,quello che ho scritto è corretto?
p.s:ma il libro di cui ho scritto prima,è di analisi 1(mi è sorto il dubbio dopo la parte sul Jacobiano)?
p.s:ma il libro di cui ho scritto prima,è di analisi 1(mi è sorto il dubbio dopo la parte sul Jacobiano)?
Secondo me questo esercizio è troppo avanzato, lascia perdere.
ok,seguirò il tuo consiglio.
[ot]Se non ti dispiace,potresti consigliarmi,cosa mi conviene studiare adesso che ho concluso lo studio di Analisi 1,fra Algebra lineare,geometria 1 e topologia generale?[/ot]
[ot]Se non ti dispiace,potresti consigliarmi,cosa mi conviene studiare adesso che ho concluso lo studio di Analisi 1,fra Algebra lineare,geometria 1 e topologia generale?[/ot]
Ho già risposto a questa domanda tempo fa 
non ti conviene "spoilerarti" lo studio universitario, piuttosto allenati per le Olimpiadi di matematica, è un buon momento per farlo.
non ti conviene "spoilerarti" lo studio universitario, piuttosto allenati per le Olimpiadi di matematica, è un buon momento per farlo.
quindi,non hai cambiato opinione;comunque proverò a partecipare alle olimpiadi,anche se non rinuncerò allo "spoilerarmi" lo studio universitario.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo