Dimostrazione di un risultato

[nasmil]

Salve a tutti, ho questa domanda alla quale non riesco a rispondere:
si dimostri che sussiste il seguente sviluppo in serie di potenze:
$ 1/(1-z)^2 = sum (n+1)z^n $

La somma va da 0 a infinito.
Ho pensato di sfruttare qualche regola sulle derivate, ma non penso sia la strada giusta; ho scomposto in fratti semplici:
$ 1/2 (1/(1-z)) - 1/2(1/(1+z)) $
Ma oltre al primo fratto che è notevole, non riesco a fare il secondo. Dove sbaglio? E come risolvere l'esercizio?

[gugo82]

Innanzitutto, la scomposizione in fratti semplici è sbagliatissima.

Stai studiando Analisi II?
Cosa conosci della teoria delle serie di potenze?
se sai che le serie di potenze si possono integrare e derivate termine a termine all'interno del cerchio di convergenza, sei a posto.

Infatti, nota che:
\[
\sum_{n=0}^\infty (n+1)z^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{\text{d}}{\text{d} z}\Big[z^{n+1}\Big] = \frac{\text{d}}{\text{d} z} \sum_{n=0}^\infty z^{n+1} = \frac{\text{d}}{\text{d} z}\left[ \frac{1}{1-z} - 1\right] = \frac{1}{(1-z)^2}\; .
\]

Altrimenti, cosa conosci della teoria delle serie numeriche?
Sai che la convergenza assoluta implica la convergenza incondizionata, cioè le proprietà commutativa ed associativa globali?

Se sai questo fatto l'uguaglianza si dimostra con un ragionamento semplice semplice.
Nota che, per ogni fissato $n\in \NN$, hai \((n+1)z^n = \sum_{k=0}^n z^n\), cosicché la serie che hai sotto mano è ottenuta dalla serie:
\[
\tag{1}
1+\underbrace{z+z}_{2 \text{ addendi}}+\underbrace{z^2+z^2+z^2}_{3 \text{ addendi}}+\underbrace{z^3+z^3+z^3+z^3}_{4 \text{ addendi}}+\cdots + \underbrace{z^n +\cdots + z^n}_{n+1 \text{ addendi}} +\cdots
\]
associando termini in maniera globale; dato che la serie assegnata converge assolutamente (per Criterio della Radice), essa converge pure incondizionatamente e perciò anche la serie (1) converge incondizionatamente ed assolutamente ed ha la stessa somma della serie assegnata; conseguentemente, si possono associare e commutare arbitrariamente i termini della (1) ottenendo sempre la stessa somma, che coincide con quella della serie assegnata.
Per calcolare la somma di (1) ci basta associare i termini in maniera furba: per capire come, ricorriamo alla seguente rappresentazione:
\[
\begin{align*}
&1 & & & & & & & & & & & &\\
+&z^1 & +&z^1 & & & & & & & & & &\\
+&z^2 & +&z^2 & +&z^2 & & & & & & & &\\
+&z^3 & +&z^3 & +&z^3 & +&z^3 & & & & & &\\
+&z^4 & +&z^4 & +&z^4 & +&z^4 & +&z^4 & & & &\\
+&z^5 & +&z^5 & +&z^5 & +&z^5 & +&z^5 & +&z^5 & &\\
+&z^6 & +&z^6 & +&z^6 & +&z^6 & +&z^6 & +&z^6 & +&z^6\\
+&\vdots & +&\vdots & +&\vdots & +&\vdots & +&\vdots & +&\vdots & +&\vdots
\end{align*}
\]
e notiamo che associando i termini sulle linee verticali si ottengono serie geometriche di cui è semplice calcolare la somma: infatti sulla 1° verticale abbiamo la serie \(\sum_{k=0}^\infty z^k\), sulla 2° la serie \(z\sum_{k=0}^\infty z^k\), sulla 3° la \(z^2\sum_{k=0}^\infty z^k\), ..., sulla \(n\)° verticale la serie \(z^{n-1}\sum_{k=0}^\infty z^k\), ...
Dunque riordinando i termini per verticali otteniamo che la serie si può scrivere come:
\[
\sum_{n=0}^\infty z^n\left( \sum_{k=0}^\infty z^k\right) = \sum_{n=0}^\infty z^n\ \left(\frac{1}{1-z}\right) = \left(\frac{1}{1-z}\right)^2 = \frac{1}{(1-z)^2}\; ,
\]
come volevamo.

[nasmil]

Sto studiando metodi matematici (analisi III).

Ho sbagliato la composizione in fratti semplici?

Comunque quello che so è sono solo le serie di potenze, poiché in analisi II e in analisi I non abbiamo affrontato le serie in generale, qui abbiamo dovuto mostrare i risultati molto velocemente per mostrare i risultati riguardo l'analiticità e gli sviluppi in serie di Laurent di una funzione in campo complesso.

Ecco il motivo per cui non sono molto capace di gestire queste serie...

[gugo82]

Ho aggiunto un po' di materiale al post precedente.
Vedi se ti tornano i conti.

[nasmil]

Cavolo, sono stato un idiota, ho visto i tuoi conti e anche io pensavo che fosse la derivata, solo che mi ero scordato $ n+1$ infatti avevo scritto:
$ sum d/dz (z^n) = sum (n-1)z^(n-1) $
E perciò non mi tornavano i conti.

Per le dimostrazioni fatte diciamo riesco a capire i tuoi passaggi, nonostante non li abbiamo mai affrontati, ma questo credo che basti ed avanzi.
Ti ringrazio, questo risultato mi serve anche per un'altra applicazione, se ho difficoltà continuerò a scrivere in questo thread.. Tanto gli esercizi sono simili ...