Dimostrazione di un numero irrazionale
Buonasera. Chiedo aiuto per una dimostrazione stupida che ovviamente io non riesco a risolvere.
Allora. Dimostrare che $p^(1/2)$ non è razionale per ogni numero p primo.
Grazie.
Allora. Dimostrare che $p^(1/2)$ non è razionale per ogni numero p primo.
Grazie.
Risposte
Puoi usare il solito metodo per assurdo ...
Supponi che sia razionale ovvero $p^(1/2)=m/n$ con $m$ e $n$ interi, allora $p=m^2/n^2\ \ =>\ \ n^2p=m^2$
Se $m$ contiene $p$ tra i suoi fattori allora $m^2$ lo conterrà con esponente pari, idem per $n$ ma allora i due membri conterranno $p$ con esponenti diversi (dispari a sx e pari a dx): assurdo.
Cordialmente, Alex
Supponi che sia razionale ovvero $p^(1/2)=m/n$ con $m$ e $n$ interi, allora $p=m^2/n^2\ \ =>\ \ n^2p=m^2$
Se $m$ contiene $p$ tra i suoi fattori allora $m^2$ lo conterrà con esponente pari, idem per $n$ ma allora i due membri conterranno $p$ con esponenti diversi (dispari a sx e pari a dx): assurdo.
Cordialmente, Alex
Se fosse razionale, si potrebbe scrivere come $a/b $ con a,b coprimi tra loro.
Ma quindi $(a/b)^2=p => a^2=p*b^2$ da cui a è multiplo di p e quindi sarà a=kp per un certo k. Riscrivo : $(a/b)^2=p => (frac {kp}{b})^2=p => b^2*p=k^2*p^2 => b^2=k^2*p $, ma quindi anche b è multiplo di p. ASSURDO perché a,b li volevo coprimi.
Ma quindi $(a/b)^2=p => a^2=p*b^2$ da cui a è multiplo di p e quindi sarà a=kp per un certo k. Riscrivo : $(a/b)^2=p => (frac {kp}{b})^2=p => b^2*p=k^2*p^2 => b^2=k^2*p $, ma quindi anche b è multiplo di p. ASSURDO perché a,b li volevo coprimi.
Grazie Penso di aver capito
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