Dimostrazione di un limite di successione
Salve ragazzi, sono giorni che tento di capire la dimostrazione di questo limite ma non riesco a comprendere dei passaggi... Mi riferisco a pagina 101-102 del Marcellini-Sbordone
$ lim_(n -> +oo ) root(n)(n^b) = 1$ per ogni $ b incc(R)$
Esaminiamo preliminarmente il caso b=1/2 - Poniamo bn= $root(n)(n^(1/2)) -1>=0$ ovviamente la radice include tutto n^1/2 ma in simboli nn riuscivo a modificarlo...con bn inoltre intendo b con n non b*n
Utilizzando la disuguaglianza di bernulli otteniamo $ 0<=bn<=(sqrt(n)-1)/n=1/sqrt(n) - 1/n che -> 0 $
$bn ->0$, cioè $ root(n)(n^(1/2)$=$n^(1/(2n))->1$
Fino a qui ci sono...
A questo punto il mio caro Marcellini-sbordone mi fa le domande e mi chiede: perchè si è scelto il valore $b=1/2$? La dimostrazione proposta non funziona se si sceglie $b=1$; perchè?Quali altri valori di $b$ oltre $b=1/2$ possono essere scelti in modo che la dimostrazione funzioni?
Non so rispondere a nessuna di queste domande...e la prof. a lezione ha tentato di farcelo capire ma non ho capito....
La dimostrazione continua.
Consideriamo ora il caso in cui l'esponente $b in ZZ$ (Perchè fa questo caso??)
Si ha che $root(n)(n^b)$=$(root(n)(n^(1/2)))^(2b)->1^(2b)=1$ Ha posto $b=2b/2$
Per trattare il caso generale $bin RR$ introduciamo la funzione parte intera di x: (0.0 ma perchè?cos'è?)
Se $b in RR$ abbiamo $ <=b<+1$ e quindi per il teorema dei carabinieri si ottiene che $root(n)(n^b)$ converge ad 1
Recapitolando i miei dubbi sono:
-Tutte le domande che mi pone il libro e che ho scritto sopra
-Perchè invece di fare il caso $b in RR$ direttamente, fa anche quello di $b in ZZ$
-Perchè introduce la parte intera di x.
Grazie mille in anticipo!
$ lim_(n -> +oo ) root(n)(n^b) = 1$ per ogni $ b incc(R)$
Esaminiamo preliminarmente il caso b=1/2 - Poniamo bn= $root(n)(n^(1/2)) -1>=0$ ovviamente la radice include tutto n^1/2 ma in simboli nn riuscivo a modificarlo...con bn inoltre intendo b con n non b*n
Utilizzando la disuguaglianza di bernulli otteniamo $ 0<=bn<=(sqrt(n)-1)/n=1/sqrt(n) - 1/n che -> 0 $
$bn ->0$, cioè $ root(n)(n^(1/2)$=$n^(1/(2n))->1$
Fino a qui ci sono...
A questo punto il mio caro Marcellini-sbordone mi fa le domande e mi chiede: perchè si è scelto il valore $b=1/2$? La dimostrazione proposta non funziona se si sceglie $b=1$; perchè?Quali altri valori di $b$ oltre $b=1/2$ possono essere scelti in modo che la dimostrazione funzioni?
Non so rispondere a nessuna di queste domande...e la prof. a lezione ha tentato di farcelo capire ma non ho capito....
La dimostrazione continua.
Consideriamo ora il caso in cui l'esponente $b in ZZ$ (Perchè fa questo caso??)
Si ha che $root(n)(n^b)$=$(root(n)(n^(1/2)))^(2b)->1^(2b)=1$ Ha posto $b=2b/2$
Per trattare il caso generale $bin RR$ introduciamo la funzione parte intera di x: (0.0 ma perchè?cos'è?)
Se $b in RR$ abbiamo $ <=b<+1$ e quindi per il teorema dei carabinieri si ottiene che $root(n)(n^b)$ converge ad 1
Recapitolando i miei dubbi sono:
-Tutte le domande che mi pone il libro e che ho scritto sopra
-Perchè invece di fare il caso $b in RR$ direttamente, fa anche quello di $b in ZZ$
-Perchè introduce la parte intera di x.
Grazie mille in anticipo!
Risposte
nessuno nessuno sa aiutarmi? :s
help me please 
Partiamo dalla prima domanda:
Hai provato a porre [tex]b=1[/tex], rifare i passaggi per vedere cosa succede?
Grazie alla tua richiesta mi sono accorto di non trovare più il Marcellini Sbordone..... Che rabbia!!
Hai provato a porre [tex]b=1[/tex], rifare i passaggi per vedere cosa succede?
Grazie alla tua richiesta mi sono accorto di non trovare più il Marcellini Sbordone..... Che rabbia!!
si per b=1 esce $0<=bn<=1-1/n$ In questo caso nn posso applicare il teo dei carabinieri perchè ho 0 che ovviamente converge a 0 e $1-1/n$ che converge ad 1.
Esatto! 
Per [tex]b=1[/tex] si ha che [tex]$0\le \lim_{n\to\infty} b_n\le1[/tex] ma questa cosa non ci assicura che [tex]$\lim_{n\to\infty} b_n=0[/tex]
Pertanto non possiamo scegliere [tex]b=1[/tex]. Cerchiamo ora di generalizzare e determiniamo per quali [tex]b[/tex] possiamo utilizzare la prima parte della dimostrazione. Lascia [tex]b[/tex] costante generica e rifai i passi precedenti
Per [tex]b=1[/tex] si ha che [tex]$0\le \lim_{n\to\infty} b_n\le1[/tex] ma questa cosa non ci assicura che [tex]$\lim_{n\to\infty} b_n=0[/tex]Pertanto non possiamo scegliere [tex]b=1[/tex]. Cerchiamo ora di generalizzare e determiniamo per quali [tex]b[/tex] possiamo utilizzare la prima parte della dimostrazione. Lascia [tex]b[/tex] costante generica e rifai i passi precedenti
bisogna scegliere b in modo tale che $(n^b)/n$ sia infinitesima. Ma ancora nn capisco perchè...
"and1991":
bisogna scegliere b in modo tale che $(n^b)/n$ sia infinitesima....
Yes, ora per quali valori di [tex]b\in \mathbb{R}[/tex] la quantità [tex]$\frac{n^b}{n}= n^{b-1}[/tex] è infinitesima?
"and1991":
...Ma ancora nn capisco perchè...
Il perchè discende dal teorema dei carabinieri, in questo caso particolare abbiamo che:
[tex]0\le b_n\le n^{b-1}-\frac{1}{n}[/tex]. Se [tex]n^{b-1}[/tex] è infinitesimo allora [tex]$n^{b-1}-\frac{1}{n}[/tex] tende a zero quando n tende a [tex]+\infty[/tex],
e per il teorema dei carabinieri questo termine spinge [tex]b_n[/tex] a [tex]0[/tex], cioè abbiamo la tesi
. Se non è chiaro dimmelo
sisi grazie questo l'ho capito ma resta ancora:
-Perchè invece di fare il caso b∈ℝ direttamente, fa anche quello di b∈ℤ
-Perchè introduce la parte intera di x.
-Perchè invece di fare il caso b∈ℝ direttamente, fa anche quello di b∈ℤ
-Perchè introduce la parte intera di x.
poi nella tesi non mi pare che sia specificato per ogni $n^(b-1)->0$ ma per ogni$ b in RR$
Scusa, ci devo pensare meglio a questa cosa, adesso sono un po' stanco e sinceramente non capisco perchè passi per Z prima di arrivare ad R... Ho l'impressione che c'entri qualcosa questo passaggio:
Ci penserò su
, adesso vado a dormire. A domani
"and1991":.
[...]
Consideriamo ora il caso in cui l'esponente $b in ZZ$ (Perchè fa questo caso??)
Si ha che $root(n)(n^b)$=$(root(n)(n^(1/2)))^(2b)->1^(2b)=1$ Ha posto $b=2b/2$
[...]
Ci penserò su
, adesso vado a dormire. A domani
thank you for your time
Eccomi di nuovo! Allora, dovresti controllare per quali valori valgono le proprietà delle radici n-esime:
Il mio sospetto è questo, la proprietà incriminata è:
[tex]$\sqrt[n]{x^\frac{m}{k}}= \left(\sqrt[n]{x^\frac{1}{k}}\right)^m \quad \forall m, k\in \mathbb{Z}, k\ne 0[/tex]
che vale quindi per esponenti che devono essere razionali, quindi [tex]m, k[/tex] devono essere interi.
Cerco conferme e quindi l'aiuto del pubblico
.
Il mio sospetto è questo, la proprietà incriminata è:
[tex]$\sqrt[n]{x^\frac{m}{k}}= \left(\sqrt[n]{x^\frac{1}{k}}\right)^m \quad \forall m, k\in \mathbb{Z}, k\ne 0[/tex]
che vale quindi per esponenti che devono essere razionali, quindi [tex]m, k[/tex] devono essere interi.
Cerco conferme e quindi l'aiuto del pubblico
.
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