Dimostrazione di topologia
Sto cercando da qualche ora, invano, di dimostrare questa apparentemente semplice proposizione:
Sia $X \subset \mathbb{R}^n$ e sia $p_0 \in \text{int} X$, allora \(\displaystyle B(p_0, \delta) \subset X \Leftrightarrow \delta\leq \inf _{y \in \text{Fr}X}\left \| p_0 -y \right \| \)
dove ho indicato con \(\displaystyle \text{int} X \) l'interno di $X$, con \(\displaystyle B(p_0, \delta) \) la bolla di raggio $\delta > 0$ e centro $p_0$ e con \(\displaystyle \text{Fr}X \) la frontiera di $X$.
Qualcuno ha qualche idea? Non riesco ad ottenere niente di buono con i tentativi che ho fatto.
Grazie in anticipo.
Sia $X \subset \mathbb{R}^n$ e sia $p_0 \in \text{int} X$, allora \(\displaystyle B(p_0, \delta) \subset X \Leftrightarrow \delta\leq \inf _{y \in \text{Fr}X}\left \| p_0 -y \right \| \)
dove ho indicato con \(\displaystyle \text{int} X \) l'interno di $X$, con \(\displaystyle B(p_0, \delta) \) la bolla di raggio $\delta > 0$ e centro $p_0$ e con \(\displaystyle \text{Fr}X \) la frontiera di $X$.
Qualcuno ha qualche idea? Non riesco ad ottenere niente di buono con i tentativi che ho fatto.
Grazie in anticipo.
Risposte
Se \(y\notin \text{int} X\) allora \(y\notin B(p_0, \delta)\), ovvero \(\|y-p_0\|\ge \delta\). Siccome un punto \(y\) di frontiera non può essere un punto interno, questo dimostra \(\Rightarrow\) (faccio riferimento al tuo post).
Ti serve pure l'inverso? è un po' più scocciante, tocca ricordare cosa significa "punto di frontiera".
Ti serve pure l'inverso? è un po' più scocciante, tocca ricordare cosa significa "punto di frontiera".
Mi sa che sono talmente tante ore che ci penso che prendo delle sviste madornali.
Quella cosa che voglio dimostrare deriva da un mio tentativo di dimostrazione di una proposizione diversa, ma ora che ci ripenso mi sa che anche con quel piccolo lemma non risolverei la questione.
Allora, reset (scusa se ti ho fatto perdere tempo).
Voglio in ultima analisi provare questo:
Sia $X \subset \mathbb{R}^n$ convesso, $x \in \text{int}X$ e $y \in \text{Fr}X$, allora $\forall \lambda \in (0,1]$ vale che $\lambda x + (1-\lambda)y \in \text{int}X$
ho cominciato notando che comunque \(\displaystyle \forall \lambda \in [0,1] \) si ha che \(\displaystyle p_0(\lambda) =\lambda x + (1-\lambda)y \in X \)
A questo punto bisogna far vedere che \(\displaystyle \lambda \neq 0 \Rightarrow p_0(\lambda) \notin \text{Fr}X \).
Ho pensato allora di definire la bolla \(\displaystyle B(p_0(\lambda), \inf _{y \in \text{Fr}X} \left \| p_0(\lambda)-y\right \| ) \) e far vedere che \(\displaystyle \lambda \neq 0 \Rightarrow \inf _{y \in \text{Fr}X} \left \| p_0(\lambda)-y\right \| ) > 0 \) e \(\displaystyle B \subset X \).
Non riesco a fare questo step...
Quella cosa che voglio dimostrare deriva da un mio tentativo di dimostrazione di una proposizione diversa, ma ora che ci ripenso mi sa che anche con quel piccolo lemma non risolverei la questione.
Allora, reset (scusa se ti ho fatto perdere tempo).
Voglio in ultima analisi provare questo:
Sia $X \subset \mathbb{R}^n$ convesso, $x \in \text{int}X$ e $y \in \text{Fr}X$, allora $\forall \lambda \in (0,1]$ vale che $\lambda x + (1-\lambda)y \in \text{int}X$
ho cominciato notando che comunque \(\displaystyle \forall \lambda \in [0,1] \) si ha che \(\displaystyle p_0(\lambda) =\lambda x + (1-\lambda)y \in X \)
A questo punto bisogna far vedere che \(\displaystyle \lambda \neq 0 \Rightarrow p_0(\lambda) \notin \text{Fr}X \).
Ho pensato allora di definire la bolla \(\displaystyle B(p_0(\lambda), \inf _{y \in \text{Fr}X} \left \| p_0(\lambda)-y\right \| ) \) e far vedere che \(\displaystyle \lambda \neq 0 \Rightarrow \inf _{y \in \text{Fr}X} \left \| p_0(\lambda)-y\right \| ) > 0 \) e \(\displaystyle B \subset X \).
Non riesco a fare questo step...
Non ti preoccupare, adesso è molto meglio. Ho visto questa roba anni fa, in un corso di analisi funzionale di Vitali Milman, puoi provare a dare un'occhiata al suo libro:
https://books.google.fr/books?id=eejpBw ... &q&f=false
(leggi da "We also define the "kernel" of $K$ etc..." )
Mi pare che ci sia la dimostrazione che ti serve, anche se in un contesto più generale. Se non ti va bene ne riparliamo
https://books.google.fr/books?id=eejpBw ... &q&f=false
(leggi da "We also define the "kernel" of $K$ etc..." )
Mi pare che ci sia la dimostrazione che ti serve, anche se in un contesto più generale. Se non ti va bene ne riparliamo
Si, riparliamone un attimo, per favore. 
(anche perchè non mi è chiaro come mai quel libro dice che la chiusura di un [insieme meno un elemento] sia pari alla chiusura di un insieme, meno un elemento)
Comunque ieri sera e stamattina ho ripassato altre ore a provare e credo di aver ottenuto qualcosa che sia vicino alla tesi.
Provo a mostrartelo.
Per ipotesi abbiamo che \(\displaystyle x_0 \in \text{int} X \) e \(\displaystyle y_0 \in \text{Fr}X \), \(\displaystyle X \) convesso.
Ho agito allora così:
\(\displaystyle p_0 (\lambda ) :=\lambda x_0 + (1-\lambda)y_0 \).
\(\displaystyle x_0 \in \text{int}X \Rightarrow \exists \delta >0 \) tale che \(\displaystyle B(x_0, \delta) \subset X \Rightarrow \lambda x + (1-\lambda)y_0 \in X \), \(\displaystyle \forall \lambda \in [0,1] \) e \(\displaystyle \forall x \in B(x_0, \delta) \) per la convessità.
In altre parole ho dimostrato fin qui che il "cono" che parte dalla bolla e arriva in \(\displaystyle y_0 \) sta tutto in $X$, grazie alla convessità.
A questo punto, \(\displaystyle \forall \lambda \in (0,1] \), considero la bolla \(\displaystyle B\left ( p_0(\lambda ),\frac{\left \| y_0-p_0(\lambda) \right \|}{\left \| y_0-x_0 \right \|}\delta \right ) \) e voglio dimostrare che questa sta tutta in $X$.
Posso allora agire facendo vedere che \(\displaystyle \forall x' \in B\left ( p_0(\lambda ),\frac{\left \| y_0-p_0(\lambda) \right \|}{\left \| y_0-x_0 \right \|}\delta \right ) \) esiste un \(\displaystyle x \in B(x_0, \delta) \) e un \(\displaystyle \lambda ' \in [0,1] \) tale che \(\displaystyle \lambda ' x + (1- \lambda ') y_0 = x' \).
In altre parole, devo prendermi un \(\displaystyle x \in B(x_0, \delta) \) che giaccia sulla "retta" congiungente \(\displaystyle y_0 \) e il generico \(\displaystyle x' \in B\left ( p_0(\lambda ),\frac{\left \| y_0-p_0(\lambda) \right \|}{\left \| y_0-x_0 \right \|}\delta \right ) \).
Ho dimostrato allora che, dato un generico $x'$, se prendo \(\displaystyle x=\alpha (x'-y_0) \), con \(\displaystyle \alpha = \frac{\delta }{\delta \frac{\left \| y_0-p_0(\lambda) \right \|}{\left \| y_0-x_0 \right \|}+\left \| \lambda y_0 +(1-\lambda)x_0 \right \|} \), si ha che \(\displaystyle \left \| \alpha (x'-y_0) - x_0\right \|< \delta\Rightarrow x=\alpha (x'-y_0) \in B(x_0, \delta) \).
Non resta da far vedere che \(\displaystyle \exists \lambda ' \in [0,1] \) tale che \(\displaystyle \lambda ' x + (1- \lambda ') y_0 = x' \).
Direi che il \(\displaystyle \lambda ' \) da prendere è il seguente: \(\displaystyle \lambda ' =\frac{\left \| x'-x\right \|}{\left \|x-y_0 \right \|} \), ma sostituendolo in \(\displaystyle \lambda ' x + (1- \lambda ') y_0 \) viene una cosa ingarbugliata, quando mi aspettavo invece \(\displaystyle x' \)
La strada mi sembra quella giusta, dove sto sbagliando nello step finale?
(anche perchè non mi è chiaro come mai quel libro dice che la chiusura di un [insieme meno un elemento] sia pari alla chiusura di un insieme, meno un elemento)Comunque ieri sera e stamattina ho ripassato altre ore a provare e credo di aver ottenuto qualcosa che sia vicino alla tesi.
Provo a mostrartelo.
Per ipotesi abbiamo che \(\displaystyle x_0 \in \text{int} X \) e \(\displaystyle y_0 \in \text{Fr}X \), \(\displaystyle X \) convesso.
Ho agito allora così:
\(\displaystyle p_0 (\lambda ) :=\lambda x_0 + (1-\lambda)y_0 \).
\(\displaystyle x_0 \in \text{int}X \Rightarrow \exists \delta >0 \) tale che \(\displaystyle B(x_0, \delta) \subset X \Rightarrow \lambda x + (1-\lambda)y_0 \in X \), \(\displaystyle \forall \lambda \in [0,1] \) e \(\displaystyle \forall x \in B(x_0, \delta) \) per la convessità.
In altre parole ho dimostrato fin qui che il "cono" che parte dalla bolla e arriva in \(\displaystyle y_0 \) sta tutto in $X$, grazie alla convessità.
A questo punto, \(\displaystyle \forall \lambda \in (0,1] \), considero la bolla \(\displaystyle B\left ( p_0(\lambda ),\frac{\left \| y_0-p_0(\lambda) \right \|}{\left \| y_0-x_0 \right \|}\delta \right ) \) e voglio dimostrare che questa sta tutta in $X$.
Posso allora agire facendo vedere che \(\displaystyle \forall x' \in B\left ( p_0(\lambda ),\frac{\left \| y_0-p_0(\lambda) \right \|}{\left \| y_0-x_0 \right \|}\delta \right ) \) esiste un \(\displaystyle x \in B(x_0, \delta) \) e un \(\displaystyle \lambda ' \in [0,1] \) tale che \(\displaystyle \lambda ' x + (1- \lambda ') y_0 = x' \).
In altre parole, devo prendermi un \(\displaystyle x \in B(x_0, \delta) \) che giaccia sulla "retta" congiungente \(\displaystyle y_0 \) e il generico \(\displaystyle x' \in B\left ( p_0(\lambda ),\frac{\left \| y_0-p_0(\lambda) \right \|}{\left \| y_0-x_0 \right \|}\delta \right ) \).
Ho dimostrato allora che, dato un generico $x'$, se prendo \(\displaystyle x=\alpha (x'-y_0) \), con \(\displaystyle \alpha = \frac{\delta }{\delta \frac{\left \| y_0-p_0(\lambda) \right \|}{\left \| y_0-x_0 \right \|}+\left \| \lambda y_0 +(1-\lambda)x_0 \right \|} \), si ha che \(\displaystyle \left \| \alpha (x'-y_0) - x_0\right \|< \delta\Rightarrow x=\alpha (x'-y_0) \in B(x_0, \delta) \).
Non resta da far vedere che \(\displaystyle \exists \lambda ' \in [0,1] \) tale che \(\displaystyle \lambda ' x + (1- \lambda ') y_0 = x' \).
Direi che il \(\displaystyle \lambda ' \) da prendere è il seguente: \(\displaystyle \lambda ' =\frac{\left \| x'-x\right \|}{\left \|x-y_0 \right \|} \), ma sostituendolo in \(\displaystyle \lambda ' x + (1- \lambda ') y_0 \) viene una cosa ingarbugliata, quando mi aspettavo invece \(\displaystyle x' \)
La strada mi sembra quella giusta, dove sto sbagliando nello step finale?
Ah no ecco, ho definito male \(\displaystyle x \), riprovo e se riesco posto la soluzione.
(Il libro usa la notazione \(A-x=\{a-x\ :\ a\in A\}\)).
La tua dimostrazione è giusta, e secondo me, una volta provato che il cono che parte dalla bolla e arriva in \(y_0\) è contenuto in \(X\) già hai finito, perché è chiaro che
\[
C(x_0, y_0; \delta) = \{ \lambda x+(1-\lambda)y_0\ :\ x\in B(x_0;\delta),\ \lambda\in(0,1)\}
\]
è un aperto che contiene \(\{\lambda x_0+(1-\lambda)y_0\ :\ \lambda\in (0, 1]\}\).
Tu stai cercando di dimostrare precisamente quel "è chiaro", e non mi sorprende che ti incasini, visto che la notazione si è appesantita di brutto. Fai così: con una traslazione e un cambio di scala puoi considerare che \(x_0=0, \delta=1\). Puoi pure supporre che \(\boldsymbol{y}_0=(y_0, 0, \ldots 0)\), se preferisci. Il disegno si semplifica parecchio.
La tua dimostrazione è giusta, e secondo me, una volta provato che il cono che parte dalla bolla e arriva in \(y_0\) è contenuto in \(X\) già hai finito, perché è chiaro che
\[
C(x_0, y_0; \delta) = \{ \lambda x+(1-\lambda)y_0\ :\ x\in B(x_0;\delta),\ \lambda\in(0,1)\}
\]
è un aperto che contiene \(\{\lambda x_0+(1-\lambda)y_0\ :\ \lambda\in (0, 1]\}\).
Tu stai cercando di dimostrare precisamente quel "è chiaro", e non mi sorprende che ti incasini, visto che la notazione si è appesantita di brutto. Fai così: con una traslazione e un cambio di scala puoi considerare che \(x_0=0, \delta=1\). Puoi pure supporre che \(\boldsymbol{y}_0=(y_0, 0, \ldots 0)\), se preferisci. Il disegno si semplifica parecchio.
"Ianero":
Ho dimostrato allora che, dato un generico x', se prendo x=α(x′−y0), con α=δδ∥y0−p0(λ)∥∥y0−x0∥+∥λy0+(1−λ)x0∥, si ha che ∥α(x′−y0)−x0∥<δ⇒x=α(x′−y0)∈B(x0,δ).
Qui sbagliavo prima.
Devo prendere \(\displaystyle x=y_0+\alpha (x'-y_0) \) e dimostrare che trovo sempre un \(\displaystyle \alpha \in \mathbb{R} \) tale che \(\displaystyle \left \| x-x_0 \right \|<\delta \).
Ho provato ad impostare questa disequazione riarrangiandola in mille modi ma non riesco a ottenere un \(\displaystyle \alpha \) che sia valido per qualsiasi scelta di \(\displaystyle \delta >0 \).
Eppure graficamente mi sembra ovvio che sia sempre possibile...
Comunque non ho capito come mettere in pratica il tuo ultimo consiglio, puoi farmi vedere per favore?
Ti sei proprio intestardito su questa cosa poco importante. È ovvio che \(C(x_0, y_0;\delta)\) è aperto, tu stai cercando di trovare gli epsilon e i delta, ma non è essenziale.
Il mio consiglio è di andare avanti, per poi ritornare qui sopra a mente fresca, adesso potresti passare qua sopra due giorni e non concludere nulla.
Il mio consiglio è di andare avanti, per poi ritornare qui sopra a mente fresca, adesso potresti passare qua sopra due giorni e non concludere nulla.
Scusami, ma se è ovvio non deve essere difficile provarlo no?
C'è qualcosa che non metto bene in pratica, cioè sfruttare il fatto che \(\displaystyle x' \) sta in \(\displaystyle B\left ( p_0(\lambda ),\frac{\left \| y_0-p_0(\lambda) \right \|}{\left \| y_0-x_0 \right \|}\delta \right ) \).
C'è qualcosa che non metto bene in pratica, cioè sfruttare il fatto che \(\displaystyle x' \) sta in \(\displaystyle B\left ( p_0(\lambda ),\frac{\left \| y_0-p_0(\lambda) \right \|}{\left \| y_0-x_0 \right \|}\delta \right ) \).
Scrivi \(y_0=0, \delta=1\). Oppure \(x_0=0, \delta=1\). Rifai i conti e vedi se ti trovi.
Ecco, neanche così ne vengo a capo.
Con \(\displaystyle y_0=0 \) avrei che \(\displaystyle x=\alpha x' \) e dovrei far vedere che esiste sempre un \(\displaystyle \alpha \) che consente di avere \(\displaystyle \left \| x-x_0 \right \|=\left \| \alpha x'-x_0 \right \|<1 \).
Come isolo adesso \(\displaystyle \alpha \)?
Immagino devo sfruttare in qualche modo che \(\displaystyle x' \) non è un punto a caso, ma sta in quella bolla particolare che mi consente di andare ad "allungarmi" fino a cadere dentro \(\displaystyle B(x_0,1) \).
Ma non ci riesco
Con \(\displaystyle y_0=0 \) avrei che \(\displaystyle x=\alpha x' \) e dovrei far vedere che esiste sempre un \(\displaystyle \alpha \) che consente di avere \(\displaystyle \left \| x-x_0 \right \|=\left \| \alpha x'-x_0 \right \|<1 \).
Come isolo adesso \(\displaystyle \alpha \)?
Immagino devo sfruttare in qualche modo che \(\displaystyle x' \) non è un punto a caso, ma sta in quella bolla particolare che mi consente di andare ad "allungarmi" fino a cadere dentro \(\displaystyle B(x_0,1) \).
Ma non ci riesco
Spero ti possa aiutare, io farei come segue. Abbiamo detto che il problema è dimostrare che l'insieme
\[
C(x_0, y_0; \delta)=\{\lambda x + (1-\lambda)y_0\ :\ \lambda\in(0,1),\ x\in B(x_0, \delta)\}
\]
è aperto. Chiaramente qui assumiamo che \(|x_0-y_0|>\delta\).
Per semplificare la dimostrazione siano \(y_0=0, \delta=1\). Sia \(x\in B(x_0, 1)\) e sia \(\lambda \in (0,1)\). Se la pallina \(B(x, \delta')\) è contenuta in \(B(x_0, 1)\), allora la pallina \(B(\lambda x, \lambda \delta')\) è contenuta in \(C(x_0, 0; 1)\), quindi quest'ultimo insieme è aperto (Vedi disegno allegato).
\[
C(x_0, y_0; \delta)=\{\lambda x + (1-\lambda)y_0\ :\ \lambda\in(0,1),\ x\in B(x_0, \delta)\}
\]
è aperto. Chiaramente qui assumiamo che \(|x_0-y_0|>\delta\).
Per semplificare la dimostrazione siano \(y_0=0, \delta=1\). Sia \(x\in B(x_0, 1)\) e sia \(\lambda \in (0,1)\). Se la pallina \(B(x, \delta')\) è contenuta in \(B(x_0, 1)\), allora la pallina \(B(\lambda x, \lambda \delta')\) è contenuta in \(C(x_0, 0; 1)\), quindi quest'ultimo insieme è aperto (Vedi disegno allegato).
Grazie mille dissonance, domani provo a ragionare bene su quello che hai scritto.
Grazie ancora.
Grazie ancora.
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