DIMOSTRAZIONE DI MATEMATICA 1

[Davide_861]

salve a tutti..sapreste dirmi come si fa a dimostrare che una funzione decrescente e continua in un intervallo,ha inversa che è decrescente e continua?grazie mille in anticipo

[ing.mecc1]

ciao,io sfrutterei il "criterio di invertibilità" che dice:
"Una funzione continua e strettamente monotòna(crescente o decrescente che sia) in un intervallo $[a , b]$ è invertibile in tale intervallo"

prendiamo $f$ strettamente crescente in $[a,b]$, risulta :

$f(a) < f(x) < f(b)$ per ogni $x$ appartenente $(a,b)$

per cui $f(a)$ e $f(b)$ risultano essere rispettivamente il minimo e il massimo della $f$ in $(a,b)$
inoltre ricordandiamo che una funzione continua in un intervallo$[a,b]$ assume tutti i valori compresi tra il minimo e il massimo.Cosi per ogni $y$ appartenente a $[f(a) ,f(b)]$ esiste almeno un $x$ appartenente ad $[a,b]$ per cui $f(x)=y$. Tale $x$ è UNICO , infatti se esistessero 2 valori $x_1 x_2$ con $x_1 > x_2$, $y=f(x_1)=f(x_2)$ ma dovrebbe essere anche $f(x_1) > f(x_2)$...
Per cui $f$ è invertibile in $[a,b]$ e la sua inversa è strettamente continua e crescente in $[a,b]$

spero che abbia ragionato bene...a quest'ora...

ciao

[Davide_861]

grazie per la disponibilità!