Dimostrazione di limiti

[fed_27]

Salve a tutti dovrei dimostrare facendo uso dell'identità $(a_n ^2-a^2)=(a_n -a)(a_n +a)$
che $lim a_n=a$ se e solo se $lim a_n ^2=a^2$
è una dimostrazione che la professoressa ci ha lasciato per casa , sono molto sicuro che si debba applicare il teorema del confronto ma non credo di essere ancora in grado di riuscire a dimostrarlo correttamente .Mi potreste aiutare ? grazie

[alberto861]

un verso è facile se $lim_{n\to infty} a_n=a$ allora dato $\varepsilon$ per $n$ sufficientemente grande $|a_n^2-a|=|a_n-a||a_n+a|<\varepsilon |2a+\varepsilon|$ dato che $a_n<\varepsilon+a$ per definizione di limite e quindi la differenza dei quadrati la puoi rendere piccola a piacere l'altro verso segue dal fatto che $|a_n-a|=|a_n-a|\frac{|a_n+a|}{|a_n+a|}=\frac{|a_n^2-a^2|}{|a_n+a|}$ il denominatore non dà problemi (per n sufficientemente grande $a_n$ deve avvicinarsi ad $a$ quindi non potrà esistere $n$ per cui $a_n=-a$) e il numeratore lo puoi rendere piccolo a piacere per la convergenza del quadrato

[Mega-X]

Io avrei fatto così:

Supponendo che $lim a_{n}^{2} = a^{2}$ puoi portare il termine $a^{2}$ all' altro membro e farlo entrare nel limite avendo così $lim (a_{n}^{2} - a^{2}) = 0$. Ora usando l'identità $a_{n}^2 - a^{2} = (a_{n} + a)(a_{n} - a)$ hai che $lim (a_{n}^2 - a^{2}) = lim[ (a_{n} + a)(a_{n} - a) ] = 0$ (2) ed essendo $lim a_{n}^2 = a^2$ e dunque $lim a_{n} = a_{n}$ (Scegliamo la soluzione positiva) possiamo dividere ambo i membri della (2) per $(a_{n} + a)$ ottenendo così $lim (a_{n} - a) = 0$ e dunque $lim a_{n} = a$.