Dimostrazione di disuguaglianza con moduli e funzioni goniometriche

[sheldon 2.0]

salve,non riesco a fare questa dimostrazione,

per ogni x,y appartenenti a R , $ |sin(x)-sin(y)|<=|x-y| $

ho pensato di usare gli sviluppi di taylor,ma non so bene come applicarli spero che possiate aiutarmi.

[dissonance]

Puoi usare il teorema del valore medio di Lagrange:
\[
f(x)-f(y)=(x-y)\cdot f'(\xi), \]
per almeno una \(\xi\) compresa tra \(x\) e \(y\) (o tra \(y\) e \(x\), a seconda di quale delle due sia più piccola). Applicalo con \(f(x)=\sin x\).

[sheldon 2.0]

"dissonance":Puoi usare il teorema del valore medio di Lagrange:
\[
f(x)-f(y)=(x-y)\cdot f'(\xi), \]
per almeno una \(\xi\) compresa tra \(x\) e \(y\) (o tra \(y\) e \(x\), a seconda di quale delle due sia più piccola). Applicalo con \(f(x)=\sin x\).

non so come trovare $f'(\xi)$
però ho provato in quest altro modo e non so se va bene.
allora applico la formula di prostaferesi per la differenza di seni e ottengo
$2|sin[(x - y)/2] · cos[(x + y)/2]| ≤ |x - y| $
poi
$|sin[(x - y)/2] · cos[(x + y)/2]| ≤ |x - y|/2 $
Ora $ sin[(x - y)/2] $ è sicuramente minore di $ (x - y)/2 $ poichè il seno di un angolo è sempre minore o uguale dell angolo stesso,lo stesso vale per $cos[(x + y)/2]|$ con $ (x - y)/2 $
e quindi si ottiene che
$|sinx - siny| ≤ |x - y|$

ora questo che ho fatto è giusto?

[dissonance]

No. Quella disuguaglianza con il coseno è falsa, prova per $x=y$ e vedi cosa succede.

[sheldon 2.0]

"dissonance":No. Quella disuguaglianza con il coseno è falsa, prova per $x=y$ e vedi cosa succede.

ora pensavo ,non potrei sfruttare il fatto che
$cos[(x + y)/2]<=1$
in questo modo ottengo con il mio metodo la disuguaglianza?

[dissonance]

Certo. È proprio quello il punto. Però occhio ai valori assoluti, non te li scordare per strada