Dimostrazione di analisi sugli estremi

[gygabyte017]

Mi sto impiccando su questo esercizio:

Dato l'insieme $A+B = {a+b " " AAa inA,AAb in B}$, dimostrare che:
1) $"inf"(A+B)="inf"(A)+"inf"(B)$
2) $"sup"(A+B)="sup"(A)+"sup"(B)$

Che cosa dovrei considerare?!
Grazie...

[fu^2]

posto innanzitutto $A\subseteq RR$ e $B\subseteq RR$

dimostriamo il punto 1)

$i$$nf(A+B)=i$$nfA+i$$nfB$

per ipotesi mettiamo che $A$ e $B$ ammettano estremo inferiore, in quanto, se uno dei due non l'ammettesse sarebbe banale (cioè sarebbe sempr uguale a $-oo$

comunque posto $alpha$ l'estremo inferiore di $A$ e $beta$ l'estremo inferiore di $B$ si ah che , se definiamo l'insieme $A+B={a_i+b_i,AAainA,AAbinB, AAiinNN}$, esiste ancora l'estremo inferiore di $A+B$ ed è dato da i due estremi inferiori di A e B in quanto son i due elementi più piccoli tali che son minori di ogni elemento dell'insieme.
infatti ogni elemneto maggiore dei propri minimi, sommato ad un altro elemento dà sempre un numero maggiore se esso è positivo, viceversa se consideriamo l'altro negativo e uguale logica se entrambi son negativi.

quindi possiamo scrivere che $i$$nf(A+B)=alpha+beta$ che è anche uguale a dire $i$$nfA+i$$nfB$ cvd


edit: correzione italiano