Dimostrazione di alcuni limiti
Ho un dubbio su due esercizi che ho provato a svolgere:
Il primo è questo: Sia $a_n$ = $(-1)^n$. Dimostrare utilizzando la definizione di limite, che la successione $a_n$ non ha limite per n --> $infty$.
Io l'ho risolto così
$\lim_{n \to \infty}(-1)^n$ Il risultato è $+-$1. Per il teorema di unicità del limite questo è impossibile, quindi il limite non esiste.
il secondo: Data la successione $a_n$ con:
$a_n$ = $(-1)^(n+1)*1/n$
determinare, usando la definizione, l'eventuale limite.
Il limite è $\lim_{n \to \infty}(-1)^(n+1)*1/n=0$ Visto che $1/n$ con n-->$infty$ è = 0. Il mio dubbio sull'esercizio è che ho trovato la soluzione del limite, ma l'esercizio mi chiede di determinarlo tramite la definizione. Come posso fare?
Il primo è questo: Sia $a_n$ = $(-1)^n$. Dimostrare utilizzando la definizione di limite, che la successione $a_n$ non ha limite per n --> $infty$.
Io l'ho risolto così
$\lim_{n \to \infty}(-1)^n$ Il risultato è $+-$1. Per il teorema di unicità del limite questo è impossibile, quindi il limite non esiste.
il secondo: Data la successione $a_n$ con:
$a_n$ = $(-1)^(n+1)*1/n$
determinare, usando la definizione, l'eventuale limite.
Il limite è $\lim_{n \to \infty}(-1)^(n+1)*1/n=0$ Visto che $1/n$ con n-->$infty$ è = 0. Il mio dubbio sull'esercizio è che ho trovato la soluzione del limite, ma l'esercizio mi chiede di determinarlo tramite la definizione. Come posso fare?
Risposte
Devi usare le definizioni di limite, non il calcolo brutale. Se io ti scrivessi $\lim_{n\to +\infty} a_n=l$, quale sarebbe la versione equivalente in termini di $\epsilon$ (o di intervalli, che poi è lo stesso)?
Nella seconda potrebbe essere che esistono successioni limitate visto che è convergente.
$|a_n|0
$|a_n|
Ma la definizione di limite la conosci????
Per risolvere quegli esercizio io ho a disposizione tre definizioni di limite: limite $+infty$ per x-->$+infty$; limite $-infty$ per x-->$+infty$ e limite finito per x-->$+infty$.
Poi ho a disposizione il limite delle varie successioni.
Il limite di una successione finita è questo
$\lim_{n \to \+infty}a_n=l$ $in$ $RR$ $hArr$ $AA$ $\epsilon$>0 $EE$ $a_\epsilon$ $in$ $NN$ :$|a_n-l|$<$\epsilon$ $AA$ n>$n_\epsilon$
Poi ho a disposizione il limite delle varie successioni.
Il limite di una successione finita è questo
$\lim_{n \to \+infty}a_n=l$ $in$ $RR$ $hArr$ $AA$ $\epsilon$>0 $EE$ $a_\epsilon$ $in$ $NN$ :$|a_n-l|$<$\epsilon$ $AA$ n>$n_\epsilon$
A parte che stiamo parlando di limiti di successione, per cui semmai avrai $n\to +\infty$, i casi sono tre: limite finito, limite infinito, e limite che non esiste.
1) $\lim_{n\to +\infty} a_n =l$ se e solo se
$$\forall\ \epsilon>0\ \exists\ n_\epsilon\in\mathbb{N}\ :\ \forall\ n>n_\epsilon\ \Rightarrow\ |a_n-l|<\epsilon$$
Quella che hai scritto tu è errata perché sembra che sia la condizione col valore assoluto che la scelta degli $n$ sia una conseguenza della scelta dell'epsilon.
2) $\lim_{n\to+\infty} a_n=+\infty\ (-\infty)$ se e solo se
$$\forall\ M>0\ \exists\ n_M\in\mathbb{N}\ :\ \forall\ n>n_M\ \Rightarrow\ a_n>M\ (a_n<-M)$$
3) limite non esiste: non puoi applicare né la prima né la seconda definizione.
Ora, sapresti applicare queste tre cose per risolvere gli esercizi dati?
1) $\lim_{n\to +\infty} a_n =l$ se e solo se
$$\forall\ \epsilon>0\ \exists\ n_\epsilon\in\mathbb{N}\ :\ \forall\ n>n_\epsilon\ \Rightarrow\ |a_n-l|<\epsilon$$
Quella che hai scritto tu è errata perché sembra che sia la condizione col valore assoluto che la scelta degli $n$ sia una conseguenza della scelta dell'epsilon.
2) $\lim_{n\to+\infty} a_n=+\infty\ (-\infty)$ se e solo se
$$\forall\ M>0\ \exists\ n_M\in\mathbb{N}\ :\ \forall\ n>n_M\ \Rightarrow\ a_n>M\ (a_n<-M)$$
3) limite non esiste: non puoi applicare né la prima né la seconda definizione.
Ora, sapresti applicare queste tre cose per risolvere gli esercizi dati?
Se applico la prima definizione mi viene
$AA\epsilon>0 EE n_\epsilon in NN : AAn>n_\epsilon => |(-1)^(n+1)*1/n -l|<\epsilon$
Se applico la seconda mi viene così
$AAM>0 EEn_M in NN : AA n>n_M => (-1)^(n+1)*1/n>M ((-1)^(n+1)*1/n<-M)$
$AA\epsilon>0 EE n_\epsilon in NN : AAn>n_\epsilon => |(-1)^(n+1)*1/n -l|<\epsilon$
Se applico la seconda mi viene così
$AAM>0 EEn_M in NN : AA n>n_M => (-1)^(n+1)*1/n>M ((-1)^(n+1)*1/n<-M)$
Ma no, mica devi applicarle così! Devi partire dalla condizione sulla $a_n$ e verificare se esista un $n_\epsilon\ (n_M)$ (a seconda di quale delle due vada bene) per cui puoi scrivere il limite. Tra l'altro, se applichi la prima, devi anche ipotizzare un valore di $l$, altrimenti non risolvi nulla.
Se consideri la successione $(-1)^{n+1}/n$, dal momento che tale valore è sempre compreso in $[-1,1]$ puoi ipotizzare $l=0$: allora devi scrivere $|(-1)^{n+1}/n|<\epsilon\ \Rightarrow\ 1/n<\epsilon$ e pertanto $n>1/\epsilon$. Per cui detto $n_\epsilon=[1/\epsilon]$ (la parte intera), verifichi la condizione!
Ma un minimo di studio della teoria?
Se consideri la successione $(-1)^{n+1}/n$, dal momento che tale valore è sempre compreso in $[-1,1]$ puoi ipotizzare $l=0$: allora devi scrivere $|(-1)^{n+1}/n|<\epsilon\ \Rightarrow\ 1/n<\epsilon$ e pertanto $n>1/\epsilon$. Per cui detto $n_\epsilon=[1/\epsilon]$ (la parte intera), verifichi la condizione!
Ma un minimo di studio della teoria?
Ok penso di aver capito.
Se tento comunque di risolvere la definizione di successione divergente, verrebbe così?
$((-1)^(n+1))/n>M $
$ (-1)^(n+1)>Mn$ e adesso se n è dispari mi viene $n<1/M$ invece se n è pari mi viene $n<-1/M$
Per la teoria di unicità del limite questo è impossibile.
Se tento comunque di risolvere la definizione di successione divergente, verrebbe così?
$((-1)^(n+1))/n>M $
$ (-1)^(n+1)>Mn$ e adesso se n è dispari mi viene $n<1/M$ invece se n è pari mi viene $n<-1/M$
Per la teoria di unicità del limite questo è impossibile.
E poi nella seconda non riuscirei a realizzare la condizione di $n>n_\epsilon$
Ok, questo è già detto meglio. Come puoi applicare le due cose, invece, per dimostrare che il limite di $(-1)^n$ non esiste?
Per $(-1)^n$ non riesco mai ad isolare nella definizione n rispetto a $n_\epsilon$
Nel caso di limite di successione convergente mi verrebbe fuori $|(-1)^n<\epsilon|$ quindi $1<\epsilon$
Nel caso di limite di successione divergente mi verrebbe fuori $|(-1)^n>M ((-1)^n<-M)|$ quindi se n pari $1>M$ se n è dispari $-1>M$. In questo caso non riesco a trovare ne la n ne combacerebbe con la proprietà dell'unicità del limite.
Nel caso di limite di successione convergente mi verrebbe fuori $|(-1)^n<\epsilon|$ quindi $1<\epsilon$
Nel caso di limite di successione divergente mi verrebbe fuori $|(-1)^n>M ((-1)^n<-M)|$ quindi se n pari $1>M$ se n è dispari $-1>M$. In questo caso non riesco a trovare ne la n ne combacerebbe con la proprietà dell'unicità del limite.
Per questo caso puoi ragionare per assurdo. Supponiamo che $\lim_{n\to+\infty} (-1)^n=a$ finito, allora dovrebbe verificarsi che $|(-1)^n-a|\le \epsilon$. Questa disequazione si riscrive in termini di $a$ come
$$(-1)^n-\epsilon< a < (-1)^n+\epsilon$$
Tuttavia, a seconda di $n$ pari o dispari si avrebbe
$$1-\epsilon
L'altra possibilità, cioè che il limite sia infinito, è inammissibile poiché $|(-1)^n|=1$ e quindi non si può arrivare a valori infiniti, dal momento che la successione è limitata.
$$(-1)^n-\epsilon< a < (-1)^n+\epsilon$$
Tuttavia, a seconda di $n$ pari o dispari si avrebbe
$$1-\epsilon
L'altra possibilità, cioè che il limite sia infinito, è inammissibile poiché $|(-1)^n|=1$ e quindi non si può arrivare a valori infiniti, dal momento che la successione è limitata.
Grazie mille, capito.
Se io dovessi risolvere questo limite, verrebbe così?
$\lim_{x \to \1}(3x-1)/(x+1)=1$
$|(3x-1)/(x+1)-1|<\epsilon$
$|(2x-2)/(x+1)|<\epsilon$
Per i valori di x<-1 e x>1, la x prende questo valore $2x-2<\epsilon x+\epsilon$
$x<(2+\epsilon)/(2-\epsilon)$
Per i valori di -1
Dovrei risolvere anche questo altro limite, mi potreste dare un aiutino a togliere nel limite il sen x e il cos x?
$lim_{x \to \- infty}x^2+sen x+cosx = +infty$
Se io dovessi risolvere questo limite, verrebbe così?
$\lim_{x \to \1}(3x-1)/(x+1)=1$
$|(3x-1)/(x+1)-1|<\epsilon$
$|(2x-2)/(x+1)|<\epsilon$
Per i valori di x<-1 e x>1, la x prende questo valore $2x-2<\epsilon x+\epsilon$
$x<(2+\epsilon)/(2-\epsilon)$
Per i valori di -1
Dovrei risolvere anche questo altro limite, mi potreste dare un aiutino a togliere nel limite il sen x e il cos x?
$lim_{x \to \- infty}x^2+sen x+cosx = +infty$
Non ho ben capito come risolvi la disequazione: io risolverei il sistema
$$\frac{2(x-1)}{x+1}<\epsilon,\qquad \frac{2(x-1)}{x+1}>-\epsilon$$
evitando le discussioni (infatti dovresti sapere che $|f(x)|0\ \Leftrightarrow\ -a< f(x)< a$.
Per l'altra, dovresti vedere cosa accade se risolvi la disequazione $x^2+\sin x+\cos x> M$. Ricordati che $|\sin x|\le 1,\ |\cos x|\le 1$, per cui ragionandoci un po'...
Ricorda che in entrambi i casi devi trovare l'esistenza degli intorni opportuni: nel primo caso devi trovare un $\delta_{\epsilon}:\ 1-\delta_\epsilon< x<1+\delta_\epsilon$, nel secondo caso un $K_M$ tale che $x< -K_M$.
$$\frac{2(x-1)}{x+1}<\epsilon,\qquad \frac{2(x-1)}{x+1}>-\epsilon$$
evitando le discussioni (infatti dovresti sapere che $|f(x)|
Per l'altra, dovresti vedere cosa accade se risolvi la disequazione $x^2+\sin x+\cos x> M$. Ricordati che $|\sin x|\le 1,\ |\cos x|\le 1$, per cui ragionandoci un po'...
Ricorda che in entrambi i casi devi trovare l'esistenza degli intorni opportuni: nel primo caso devi trovare un $\delta_{\epsilon}:\ 1-\delta_\epsilon< x<1+\delta_\epsilon$, nel secondo caso un $K_M$ tale che $x< -K_M$.
Errore mio quello del primo.
$x<(2+\epsilon)/(2-\epsilon)$
L'altra è
$x>(2-\epsilon)/(2+\epsilon)$.
Quindi l'esistenza di questo intorno è $(2-\epsilon)/(2+\epsilon)
Mi dovrebbe venire una roba simile $x^2>M-2$?
$x<(2+\epsilon)/(2-\epsilon)$
L'altra è
$x>(2-\epsilon)/(2+\epsilon)$.
Quindi l'esistenza di questo intorno è $(2-\epsilon)/(2+\epsilon)
Mi dovrebbe venire una roba simile $x^2>M-2$?
Non ho capito come risolvi le disequazioni. Quelle che ho scritto io hanno le seguenti soluzioni:
$$-1\frac{2-\epsilon}{2+\epsilon}=\frac{2+\epsilon-2\epsilon}{2+\epsilon}=1-\frac{2\epsilon}{2+\epsilon}$$
per cui il sistema ammette soluzioni
$$1-\frac{2\epsilon}{2+\epsilon}< x< 1+\frac{2\epsilon}{2-\epsilon}$$
Prendi allora come $\delta_\epsilon$ il più piccolo tra i due valori qui sopra (è la frazione con la somma a denominatore, ovviamente) e hai fatto.
Per l'altro, dal momento che seno e coseno sono due quantità limitate, possiamo assumere che $x^2+\sin x+\cos x\le x^2+2$ e quindi ridurci a risolvere $x^2+2> M$ da cui $x< -\sqrt{M-2}\ \vee\ x>\sqrt{M-2}$ e quindi scegliere $K_M=\sqrt{M-2}$ da cui $x< -K_M$.
$$-1
per cui il sistema ammette soluzioni
$$1-\frac{2\epsilon}{2+\epsilon}< x< 1+\frac{2\epsilon}{2-\epsilon}$$
Prendi allora come $\delta_\epsilon$ il più piccolo tra i due valori qui sopra (è la frazione con la somma a denominatore, ovviamente) e hai fatto.
Per l'altro, dal momento che seno e coseno sono due quantità limitate, possiamo assumere che $x^2+\sin x+\cos x\le x^2+2$ e quindi ridurci a risolvere $x^2+2> M$ da cui $x< -\sqrt{M-2}\ \vee\ x>\sqrt{M-2}$ e quindi scegliere $K_M=\sqrt{M-2}$ da cui $x< -K_M$.
Ok, il secondo l'ho capito.
Ma per il primo come trovi x>-1?
$2(x-1)/(x+1)> -\epsilon$
$2(x-1)> -\epsilon x - \epsilon$
$2x-2> -\epsilon x -\epsilon$
$2x +\epsilonx > 2 -\epsilon$
$x(2+\epsilon)>2-\epsilon$
$x > (2-\epsilon)/(2+\epsilon)$
Ma per il primo come trovi x>-1?
$2(x-1)/(x+1)> -\epsilon$
$2(x-1)> -\epsilon x - \epsilon$
$2x-2> -\epsilon x -\epsilon$
$2x +\epsilonx > 2 -\epsilon$
$x(2+\epsilon)>2-\epsilon$
$x > (2-\epsilon)/(2+\epsilon)$
Ma tu risolvi così le disequazioni frazionarie? Andiamo bene! La disequazione frazionaria ${f(x)}/{g(x)}>0$ (o $<0$ è lo stesso) si risolve prendendo separatamente $f>0,\ g>0$ e poi costruendo un grafico per i segni. Al termine di questo, si sceglie l'intervallo (o gli intervalli) in cui il segno globale della frazione coincide con quello della disequazione originale.
Mea culpa, erroraccio mio.
Trovati i due diversi risultati di x delle due disequazioni, non devo metterli insieme in un grafico per vedere che valori assumono? Non verrebbero così gli ultimi passaggi?
$(2-\epsilon)/(2+\epsilon)
Trovati i due diversi risultati di x delle due disequazioni, non devo metterli insieme in un grafico per vedere che valori assumono? Non verrebbero così gli ultimi passaggi?
$(2-\epsilon)/(2+\epsilon)
La ragione è questa: tu scrivi una cosa del tipo $1-a< x < 1+b$ però hai bisogno di uno solo di questi valori per concludere. Quale scegliere? Bé, quello che rende utilizzabile entrambe le disuguaglianze. Supponi, per esempio, che $a1-b$ e $1+a<1+b$ e quindi possiamo scrivere
$$1-b<1-a< x<1+a<1+b$$
per cui la scelta di $a$ è quella corretta in quanto, così facendo, sei sicuro di far valere entrambe le diseguaglianze scritti all'inizio.
$$1-b<1-a< x<1+a<1+b$$
per cui la scelta di $a$ è quella corretta in quanto, così facendo, sei sicuro di far valere entrambe le diseguaglianze scritti all'inizio.
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