Dimostrazione di alcuni limiti

[Gianalberto1]

Ho un dubbio su due esercizi che ho provato a svolgere:
Il primo è questo: Sia $a_n$ = $(-1)^n$. Dimostrare utilizzando la definizione di limite, che la successione $a_n$ non ha limite per n --> $infty$.
Io l'ho risolto così
$\lim_{n \to \infty}(-1)^n$ Il risultato è $+-$1. Per il teorema di unicità del limite questo è impossibile, quindi il limite non esiste.
il secondo: Data la successione $a_n$ con:
$a_n$ = $(-1)^(n+1)*1/n$
determinare, usando la definizione, l'eventuale limite.
Il limite è $\lim_{n \to \infty}(-1)^(n+1)*1/n=0$ Visto che $1/n$ con n-->$infty$ è = 0. Il mio dubbio sull'esercizio è che ho trovato la soluzione del limite, ma l'esercizio mi chiede di determinarlo tramite la definizione. Come posso fare?

[Gianalberto1]

Se io dovessi dimostrare questa affermazione $lim_{x\ to\ x_0}|f(x)|= 0$ $hArr$ $lim_{x\ to\ x_0}f(x)= 0$. Dovrei fare così?
Pongo $l=0$
Quindi ottengo $||f(X)||< \epsilon$ che è uguale a dire che $|f(x)|< \epsilon$, e poi dovrei fare i passaggi successivi per trovare i due intorni di x $-\delta

Cita

Segnala

[ciampax]

Ma no, basta usare la definizione. Qui hai una cosa del tipo $A\ \Leftrightarrow\ B$. Ora, l'implicazione $B\ \Rightarrow\ A$ è banale (perché?). Vediamo l'altra.

Se vale il primo limite, supponendo che $x_0\ne\infty$, allora possiamo scrivere che
$$\forall\ \epsilon>0\ \exists\ \delta_\epsilon>0\ :\ 0|x|<\delta_\epsilon\ \Rightarrow\ \left|\ |f(x)|\ \right|<\epsilon$$
e visto che $| |f(x)| |=|f(x)|$ si ha
$$\forall\ \epsilon>0\ \exists\ \delta_\epsilon>0\ :\ 0|x|<\delta_\epsilon\ \Rightarrow\ |f(x)|<\epsilon$$
che è proprio la definizione del limite $B$.

[Gianalberto1]

Guarda che io intendevo quello che hai scritto tu.
Forse mi sono spiegato un po' male.
Comunque $0<|x - x_0|<\delta$ io se voglio trovare i valori in cui è compresa la x, posso scrivere così $x_0- \delta < x < x_0 + \delta$?

[ciampax]

"Gianalberto":Guarda che io intendevo quello che hai scritto tu.
Forse mi sono spiegato un po' male.
Comunque $0<|x - x_0|<\delta$ io se voglio trovare i valori in cui è compresa la x, posso scrivere così $x_0- \delta < x < x_0 + \delta$?

probabilmente ti sei espresso male, sì. Comunque la condizione per l'interno, se la vuoi scrivere come hai fatto, deve ssere $x_0-\delta< x

Cita

Segnala

[Gianalberto1]

Come faccio a dimostrare questo limite?
$lim_{n -> infty}a_n=l$ $<=>$ $lim_{n -> infty}$ inf $ a_n = lim_{n -> infty}$ sup $ a_n = l$.
Io posso dire che questo limite di successione esiste, per il fatto che, i due limiti sup e inf coincidono. Se no questo limite non esisterebbe.

[ciampax]

Usa sempre le definizioni. Come si definiscono, in termini di $\epsilon$, inf e sup?

[Gianalberto1]

Potrebbe essere così?
Data la definizione di limite di successione convergente. Pongo al posto di $|a_n-l|< \epsilon$ rispettivamente $|$sup$a_n-l|< \epsilon$ e $|$inf$a_n-l|< \epsilon$ sempre per $AAn>n_\epsilon$. Visto che per verificare al condizione fondamentale dell'esistenza del limite devono essere uguali. Il tutto è verificato con l'uguaglianza dei due limiti