Dimostrazione dell'infinità dell'insieme $RR$
al seguente link ho trovato una dimostrazione della infinità di $RR$:
http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Tu ... nInfin.htm
ma c'è una cosa che non mi convince, quando dice:
"Sottolineiamo il fatto che immaginiamo di "elencare" tutti gli elementi di A e che a ciascuno di essi facciamo corrispondere uno ed un solo numero naturale."
poi però costruisce un numero contenuto in A, e che è diverso da quelli elencati.. ma non aveva enecato TUTTI gli elementi di A?
Si usa dimostrare la numerabilità di $ZZ$?
http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Tu ... nInfin.htm
ma c'è una cosa che non mi convince, quando dice:
"Sottolineiamo il fatto che immaginiamo di "elencare" tutti gli elementi di A e che a ciascuno di essi facciamo corrispondere uno ed un solo numero naturale."
poi però costruisce un numero contenuto in A, e che è diverso da quelli elencati.. ma non aveva enecato TUTTI gli elementi di A?
Si usa dimostrare la numerabilità di $ZZ$?
Risposte
l'accento si pone sulla parola "immaginiamo". sta supponendo per assurdo che la cosa sia possibile. allora, non potendo dire con quale ordine sono elencati i numeri reali, costruisce un numero reale diverso da tutti quelli dell'infinito elenco. dimostra così che un qualsiasi "elenco numerabile" è incompleto.
spero di esserti stata d'aiuto. ciao.
spero di esserti stata d'aiuto. ciao.
"un qualsiasi "elenco numerabile" è incompleto. "
perfetto, questa tua frase ha chiarito tutto in un attimo
Scusa l'altra domanda? Cioè come si può dimostrare la numerabilità di $ZZ$? Prendendo le coppie $+-1$, $+-2$...?
perfetto, questa tua frase ha chiarito tutto in un attimo
Scusa l'altra domanda? Cioè come si può dimostrare la numerabilità di $ZZ$? Prendendo le coppie $+-1$, $+-2$...?
Sì gli elementi di $ZZ$ si possono disporre in successione come
$0,-1,1,-2,2,-3,3,-4,4,...$
$0,-1,1,-2,2,-3,3,-4,4,...$
"raff5184":
"un qualsiasi "elenco numerabile" è incompleto. "
perfetto, questa tua frase ha chiarito tutto in un attimo
Scusa l'altra domanda? Cioè come si può dimostrare la numerabilità di $ZZ$? Prendendo le coppie $+-1$, $+-2$...?
Per dimostrare la numerabilità basta definire una funzione suriettiva da $NN$ a $ZZ$. Quindi si, prendi le coppie.
no, ogni elemento va preso per conto suo, basta ordinarli. quindi per esempio: {0, -1, +1, -2, +2, ... }.
in questa maniera in corrispondenza con N sarà (se consideri anche 0 in N) 0->0, -1->1, +1->2, -2->3, +2->4, ecc.
i numeri negativi corrisponderanno ai dispari, i numeri positivi ai pari, ma è solo un modo...
ciao.
in questa maniera in corrispondenza con N sarà (se consideri anche 0 in N) 0->0, -1->1, +1->2, -2->3, +2->4, ecc.
i numeri negativi corrisponderanno ai dispari, i numeri positivi ai pari, ma è solo un modo...
ciao.
guarda quanta gente ha risposto prima di me...
strangolatoremancino ha avuto la mia stessa idea, per creare una corrispondenza biunivoca da Z a N (definizione di successione in Z).
il procedemento che ti suggerisce vict85 riguarda invece il fatto che banalmente la cardinalità di Z non può essere minore della cardinalità di N, e con una funzione suriettiva dimostri che che non può essere maggiore... però, se ad ogni numero naturale ne fai corrispondere due interi, non è una funzione...
a quel punto puoi usare anche il fatto che Q è equipotente a N (con la diagonalizzazione di Cantor): Z non può avere cardinalità minore di N né maggiore di Q, dunque è numerabile.
ciao.
strangolatoremancino ha avuto la mia stessa idea, per creare una corrispondenza biunivoca da Z a N (definizione di successione in Z).
il procedemento che ti suggerisce vict85 riguarda invece il fatto che banalmente la cardinalità di Z non può essere minore della cardinalità di N, e con una funzione suriettiva dimostri che che non può essere maggiore... però, se ad ogni numero naturale ne fai corrispondere due interi, non è una funzione...
a quel punto puoi usare anche il fatto che Q è equipotente a N (con la diagonalizzazione di Cantor): Z non può avere cardinalità minore di N né maggiore di Q, dunque è numerabile.
ciao.
"adaBTTLS":
no, ogni elemento va preso per conto suo
io pensavo di considereare il sottinsieme del cartesiano $NNxNN$ ma è ovvio che i negativi non appartengono a $NN$, è proprio errata come idea?
"raff5184":
io pensavo di considereare il sottinsieme del cartesiano $NNxNN$ ma è ovvio che i negativi non appartengono a $NN$, è proprio errata come idea?
Invece l'idea è ottima visto che $ZZ$ è definito proprio come classi di equivalenza in $NNxNN$.
ok grazie.
nella sezione matematica discreta ho posto delle domande simili
nella sezione matematica discreta ho posto delle domande simili
ho aspettato un po' per rispondere, visto che si sono "accavallati" molti post.
la questione delle coppie dipende da come la consideri.
se vuoi dimostrare in maniera diretta la numerabilità di Z, devi costruire una funzione biunivoca da Z a N (se due elementi di Z sono associati ad un solo elemento di N, allora la funzione non è biunivoca). se invece vuoi sfruttare altre informazioni (come il fatto Q è numerabile, ed anche NxN è numerabile), allora ti puoi regolare di conseguenza.
adesso, a freddo, neanche a me convince molto quella dimostrazione, e non per un motivo particolare, ma perché, se facciamo il confronto con Q, un simile metodo rischia di "affermare" che neanche Q è numerabile: infatti, per dimostrare la numerabilità di Q, si è dovuto ricorrere alle frazioni e non all'ordinamento naturale, dato che Q è denso in R.
ti lascio a meditare. ciao.
la questione delle coppie dipende da come la consideri.
se vuoi dimostrare in maniera diretta la numerabilità di Z, devi costruire una funzione biunivoca da Z a N (se due elementi di Z sono associati ad un solo elemento di N, allora la funzione non è biunivoca). se invece vuoi sfruttare altre informazioni (come il fatto Q è numerabile, ed anche NxN è numerabile), allora ti puoi regolare di conseguenza.
adesso, a freddo, neanche a me convince molto quella dimostrazione, e non per un motivo particolare, ma perché, se facciamo il confronto con Q, un simile metodo rischia di "affermare" che neanche Q è numerabile: infatti, per dimostrare la numerabilità di Q, si è dovuto ricorrere alle frazioni e non all'ordinamento naturale, dato che Q è denso in R.
ti lascio a meditare. ciao.
Alternativamente puoi usare questa strategia (se ti interessa solo produrre una prova del fatto che $RR$ è nfinito): $NN \subseteq RR$ e l'immersione $i : NN to RR$ è chiaramente iniettiva, quindi $RR$ è infinito per il seguente
Lemma. Se $A$ è infinito e $\phi : A to B$ è iniettiva, allora pure $B$ è infinito.
Lemma. Se $A$ è infinito e $\phi : A to B$ è iniettiva, allora pure $B$ è infinito.
Due osservazioni in ordine.
Primo, nella dimostrazione riportata nel link prova che $RR$ non è numerabile; la tesi è ottenuta mostrando che ogni successione non esaurisce $RR$ quindi la dimostrazione contiene, implicitamente, anche un risultato d'infinità (ma questo non è lo scopo principale del discorso).
Secondo, la dimostrazione dell'infinità di $RR$ è oltremodo semplice (anche se non si è a conoscenza delle inclusioni $NN\subset QQ \subset RR$).
Primo, nella dimostrazione riportata nel link prova che $RR$ non è numerabile; la tesi è ottenuta mostrando che ogni successione non esaurisce $RR$ quindi la dimostrazione contiene, implicitamente, anche un risultato d'infinità (ma questo non è lo scopo principale del discorso).
Secondo, la dimostrazione dell'infinità di $RR$ è oltremodo semplice (anche se non si è a conoscenza delle inclusioni $NN\subset QQ \subset RR$).
Proposizione: $RR$ è infinito.
Dimostrazione: L'applicazione $f(x):=x/sqrt(1+x^2)$ è una biiezione tra $RR$ e $]-1,1[$. Tanto basta per ritenere acquisita la tesi.
"Gugo82":Proposizione: $RR$ è infinito.
Dimostrazione: L'applicazione $f(x):=x/sqrt(1+x^2)$ è una biiezione tra $RR$ e $]-1,1[$. Tanto basta per ritenere acquisita la tesi.
Ma cosi' non ti sei solo ridotto a mostrare che $]-1,1[$ e' infinito?
"WiZaRd":
Alternativamente puoi usare questa strategia (se ti interessa solo produrre una prova del fatto che $RR$ è nfinito): $NN \subseteq RR$ e l'immersione $i : NN to RR$ è chiaramente iniettiva, quindi $RR$ è infinito per il seguente
Lemma. Se $A$ è infinito e $\phi : A to B$ è iniettiva, allora pure $B$ è infinito.
grazie wizard, sembra più immediata come dimostrazione ma non posso sfruttare questo lemma
Grazie a tutti per le risposte.
Mi dareste cortesemente una mano con le domande simili che ho posto nella sezione matematica discreta?
Grazie
prego.
con le ultime risposte mi è venuto un dubbio sulla richiesta del primo quesito: "R infinito" oppure "R non numerabile" ?
@ Gugo82
perché l'esempio utilizzato nel link non è valido per "dimostrare" una cosa falsa come la non numerabilità di Q ?
ciao.
con le ultime risposte mi è venuto un dubbio sulla richiesta del primo quesito: "R infinito" oppure "R non numerabile" ?
@ Gugo82
perché l'esempio utilizzato nel link non è valido per "dimostrare" una cosa falsa come la non numerabilità di Q ?
ciao.
"raff5184":
[quote="WiZaRd"]Alternativamente puoi usare questa strategia (se ti interessa solo produrre una prova del fatto che $RR$ è nfinito): $NN \subseteq RR$ e l'immersione $i : NN to RR$ è chiaramente iniettiva, quindi $RR$ è infinito per il seguente
Lemma. Se $A$ è infinito e $\phi : A to B$ è iniettiva, allora pure $B$ è infinito.
grazie wizard, sembra più immediata come dimostrazione ma non posso sfruttare questo lemma
Grazie a tutti per le risposte.
Mi dareste cortesemente una mano con le domande simili che ho posto nella sezione matematica discreta?
Grazie[/quote]
Non hai necessariamente bisogno del lemma... In fondo, $ZZ \subset RR$ e sapendo che $ZZ$ ha cardinalità infinita, $RR$ non può essere finito. Un sottoinsieme di un insieme finito non può essere infinito.
"vict85":
Un sottoinsieme di un insieme finito non può essere infinito.
Questo è appunto quello che dice il lemma di WiZaRd
forse c'è stato un attimo di confusione (da parte mia) io ero interessato alla non numerabilità di $RR$ piuttosto che alla sua infinità infatti il titolo che ho dato al topic non è del tutto appropriato
sorry
sorry
"Martino":
[quote="vict85"]Un sottoinsieme di un insieme finito non può essere infinito.
Questo è appunto quello che dice il lemma di WiZaRd
[/quote]Lo avevo capito ma aveva detto che non poteva usare il lemma e quindi ho aggirato il problema scrivendolo in un modo equivalente ma meno "minaccioso".
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