Dimostrazione dell'esistenza della radice ennesima
Ciao a tutti, mi serve troppo aiuto per dimostrare l'esistenza della radice ennesima di un numero positivo applicando il principio di induzione
avendo da definizione $ yϵR $ , $ y≥0 $ e $ nϵN $
Allora esiste uno e un solo $ xϵR $ con $ x≥0 $ t.c. $ x^n=y $ da cui implico che $ x=y^(1/n) $
ho iniziato supponendo un caso banale con $ n=1$ dove affermo che è vera ottendo di fatto $ x=y $
nel passaggio successivo mi domando se ciò è verificato anche per il caso $ n+1 $
quindi se è vero anche $x=y^(1/(n+1)) $
il problema è che ho provato in mille modi a mettere in relazione queste due condizioni senza nessun successo, la professoressa si è aiutata utilizzando questa relazione già precedentemente verificata sempre con il principio di induzione soltanto non ho capito come l'ha utilizzata
$0≤x_(1 )
grazie a tutti per le risposte calcolate che ormai è diventata una questione di principio
risolvere questo teorema
avendo da definizione $ yϵR $ , $ y≥0 $ e $ nϵN $
Allora esiste uno e un solo $ xϵR $ con $ x≥0 $ t.c. $ x^n=y $ da cui implico che $ x=y^(1/n) $
ho iniziato supponendo un caso banale con $ n=1$ dove affermo che è vera ottendo di fatto $ x=y $
nel passaggio successivo mi domando se ciò è verificato anche per il caso $ n+1 $
quindi se è vero anche $x=y^(1/(n+1)) $
il problema è che ho provato in mille modi a mettere in relazione queste due condizioni senza nessun successo, la professoressa si è aiutata utilizzando questa relazione già precedentemente verificata sempre con il principio di induzione soltanto non ho capito come l'ha utilizzata
$0≤x_(1 )
grazie a tutti per le risposte calcolate che ormai è diventata una questione di principio
risolvere questo teorema
Risposte
Non vorrei sbagliarmi ma io farei così: per $n+1$ abbiamo $x^{n+1}=x*x^n=y$. Ma sappiamo che per $n=1$ si ha $x=y$ quindi $x*x^n=y \to x*x^n =x \to x^n =1 \to x=1^{1/n}=1$. Tutto questo con la supposizione che $x$ ed $n$ siano diversi da $0$ (non restrittivo in quanto per $x=0$ la proposizione è ovvia e $n>=1$ per definizione).
Potrebbe andare?
Potrebbe andare?
Non credo sia possibile sfruttare l'induzione...
Il problema è che, pur volendo usare le proprietà delle potenze, non si riesce a cavare nulla di buono se $n$ è primo (quindi già per $n=2,3$ la dimostrazione non funziona -almeno dopo i due conti veloci che ho fatto-).
Credo che in questo caso le strade più battute siano le migliori: ad esempio, dimostrare che gli insiemi $\{x>0:\ x^n0:\ x^n>=y\}$ sono contigui, oppure sfruttare il teorema della permanenza del segno per i polinomi (questa strada è seguita sul Giusti).
Il problema è che, pur volendo usare le proprietà delle potenze, non si riesce a cavare nulla di buono se $n$ è primo (quindi già per $n=2,3$ la dimostrazione non funziona -almeno dopo i due conti veloci che ho fatto-).
Credo che in questo caso le strade più battute siano le migliori: ad esempio, dimostrare che gli insiemi $\{x>0:\ x^n
scusate se ho risposto cosi in ritardo cmq grazie lo stesso
sono sicuro che ci sia un modo per spiegarlo anche con l'induzione proverò a chiedere alla professoressa vediamo un pò!!!!
CIAO
sono sicuro che ci sia un modo per spiegarlo anche con l'induzione proverò a chiedere alla professoressa vediamo un pò!!!!
CIAO
"mela887":
sono sicuro che ci sia un modo per spiegarlo anche con l'induzione proverò a chiedere alla professoressa vediamo un pò!!!!
Su cosa basi la tua sicurezza?
L'hai letto da qualche parte o è una certezza "innata"?
Just curious...
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