Dimostrazione delle proprieta' delle successioni...

[BoG3]

ciao a tutti,
non sono in gamba in matematica ma cerco di migliorare
trovo in particolare molto affascinanti le tecniche usate per le dimostrazioni, quindi ultimamente ne sto facendo alcune.
ho un problema con una dimostrazione
capisco che magari qualcuno mi dirà "scemo tu che lo fai" pero' spero che qualcuno mi dia anche qualche consiglio interessante:

dimostrare che se ho 2 successioni:
${x_n}_(n in NN)$ infinitesima,
${y_n}_(n in NN)$ limitata (quindi $EE \alpha, \beta : \alpha <= y_n <= \beta, AAn in RR$, quindi esiste un limite $c : \alpha <= c <= \beta$ ),

allora ${x_n*y_n}_(n in NN)$ infinitesima,

Se parto dalla definizione di successioni infinitesima: Una successione ${x_n}_(n in NN)$ è infinitesima se $lim_(n\to\infty) x_n =0$
m allora basta applicare il limite a ${x_n*y_n}_(n in NN)$ ed ottengo $lim_(n\to\infty)x_n*y_n$ = $lim_(n\to\infty)0*c = 0, AA c in RR$.

puo' andare una cosa del genere?

[Richard_Dedekind]

Non proprio, a dire il vero. Così facendo tu supponi date per buone le operazioni con i limiti. In genere questo non si fa e si ricorre alla definizione generale. Inoltre quel \(\forall c\in\mathbb{R}\) è proprio sbagliato: \(c\) non è una costante qualsiasi, è un limite finito, quindi è addirittura unico (se esiste, il che non è scontato)!

Prova a pensarla così: se \(y_n\) è limitata, allora \(\exists\,M>0\,:\,|y_n|\leq M\,\,\forall n\in\mathbb{N}\). Poiché \(x_n\) è infinitesima, allora \(\forall \varepsilon >0\,\,\,|x_n|<\varepsilon\) definitivamente. Si tratta ora di stimare il prodotto \(x_ny_n\)...

[Sk_Anonymous]

BoG, una successione limitata può non essere convergente.