Dimostrazione della TDF di $ 1/(x^2+a^2) $

Danyele87
Ciao a tutti, devo dimostrare (in pratica risolvere l'integrale) la TDF della funzione in oggetto:

$f(x)= 1/(x^2+a^2) $

applicando la definizione ottengo il seguente integrale da risolvere:

$1/sqrt(2pi)int_(-oo )^(+oo)f(x)e^(-iwx)dx$

quindi l'integrale diventa:

$1/sqrt(2pi)int_(-oo )^(+oo)1/(x^2+a^2)e^(-iwx)dx=2/sqrt(2pi)int_(0 )^(+oo)1/(x^2+a^2)e^(-iwx)dx$

con x ed a appartenente ad R ed a>0.

Il risultato dell'integrale nella variabile w è:

$ sqrt((pi/2))(e^(-a|w|))/a$

mi viene da pensare di risolvere l'integrale PER PARTI procedo quindi nel seguente modo:

pongo $f(x)=1/(x^2+a^2)$ e $g(x)=e^(-iwx)$

procedendo con la risoluzione ottengo:

$2/sqrt(2pi)[-1/((x^2+a^2)w)e^(-iwx)tra(0,+oo)] -2/sqrt(2pi)int_(0)^(+oo) (2x)/(w(x^2+a^2)^2) e^(-iwx)dx$

che ritengo più complesso dell'integrale di partenza.

Dove sbaglio?

Risposte
laurettas2
essendo tale funzione di classe L2 puoi applicare il th di Plancherel e quindi calcolare l'integrale con i residui usando il lemma di Jordan.
Poi scusa nella definizione di trasformata di Fourier non c'è il $ 1 / sqrt(2pi) $

Danyele87
grazie del suggerimento, provo a calcolare...per quanto riguarda il coefficiente moltiplicativo è vero, nei testi non compare tale coefficiente, ma avendolo negli appunti e negli esercizi, ce lo metto :P (anche wikipedia lo riporta)...mi viene da pensare sia una semplice convenzione...nulla più :)

laurettas2
Hai ragione, per il coefficiente...in pratica la definizione classica di trasformata è senza la costante e si usa indicare con $ hat(x) $ (w) data la funzione x(t). Mentre come definizione alternativa viene moltiplicata per il coefficiente ed indicata con X(w).
Così ho trovato sui miei appunti. Invece sul libro la notazione è sempre la stessa.
Generalmente si usa la prima, la seconda viene utilizzata perchè rende la formula di inversione più simile alla definizione.
:D questa nota l'avevo scritta talmente piccola che per non sbattermi troppo a decifrarla l'avevo proprio sorvolata!!

Danyele87
spero non ti siano venuti problemi di vista per la mia domanda allora :=)

Ho risolto il problema, tra l'altro era anche sul Codegone...bisognava usare proprio il lemma di jordan usato proprio per il calcolo delle T.d.F. di funzioni razionali...comunque per dovere di cronaca, a chi può servire posto la soluzione per come serve a me con il termine moltiplicativo $1/sqrt(2pi)$:

La funzione integranda ha un polo di ordine 2 pari a $ pm ja $

dal lemma di Jordan ottengo la seguente espressione risolutiva:

$ int_(-oo )^(+oo ) e^{-jwx}/(x^2+a^2)dx ={ ( 2pij Res(ja) per w<0),( -2pijRes(-ja) per w>0):} $

ottengo quindi che:

$ Res(s=ja)=e^(-jws)/(s+ja)=e^(-jwja)/(ja+ja)=e^(wa)/(2ja) $
$ Res(s=-ja)=e^(-jws)/(s-ja)=e^(-jw(-ja))/(-ja-ja)=e^(-wa)/(-2ja) $

quindi:
$ int_(-oo )^(+oo ) e^{-jwx}/(x^2+a^2)dx ={ ( 2pij Res(ja) per w<0),( -2pijRes(-ja) per w>0):}={ ( pi e^(wa)/(a) per w<0),( pie^(-wa)/(a) per w>0):}=(pie^(-|w|a))/a $

moltiplico per il coefficiente $1/sqrt(2pi)$ ed ottengo il risultato richiesto dal testo dell'esercizio:

$1/sqrt(2pi)pie^(-|w|a)=sqrt(pi)/sqrt(2)(e^(-|w|a))/a$

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