Dimostrazione della TDF di $ 1/(x^2+a^2) $
Ciao a tutti, devo dimostrare (in pratica risolvere l'integrale) la TDF della funzione in oggetto:
$f(x)= 1/(x^2+a^2) $
applicando la definizione ottengo il seguente integrale da risolvere:
$1/sqrt(2pi)int_(-oo )^(+oo)f(x)e^(-iwx)dx$
quindi l'integrale diventa:
$1/sqrt(2pi)int_(-oo )^(+oo)1/(x^2+a^2)e^(-iwx)dx=2/sqrt(2pi)int_(0 )^(+oo)1/(x^2+a^2)e^(-iwx)dx$
con x ed a appartenente ad R ed a>0.
Il risultato dell'integrale nella variabile w è:
$ sqrt((pi/2))(e^(-a|w|))/a$
mi viene da pensare di risolvere l'integrale PER PARTI procedo quindi nel seguente modo:
pongo $f(x)=1/(x^2+a^2)$ e $g(x)=e^(-iwx)$
procedendo con la risoluzione ottengo:
$2/sqrt(2pi)[-1/((x^2+a^2)w)e^(-iwx)tra(0,+oo)] -2/sqrt(2pi)int_(0)^(+oo) (2x)/(w(x^2+a^2)^2) e^(-iwx)dx$
che ritengo più complesso dell'integrale di partenza.
Dove sbaglio?
$f(x)= 1/(x^2+a^2) $
applicando la definizione ottengo il seguente integrale da risolvere:
$1/sqrt(2pi)int_(-oo )^(+oo)f(x)e^(-iwx)dx$
quindi l'integrale diventa:
$1/sqrt(2pi)int_(-oo )^(+oo)1/(x^2+a^2)e^(-iwx)dx=2/sqrt(2pi)int_(0 )^(+oo)1/(x^2+a^2)e^(-iwx)dx$
con x ed a appartenente ad R ed a>0.
Il risultato dell'integrale nella variabile w è:
$ sqrt((pi/2))(e^(-a|w|))/a$
mi viene da pensare di risolvere l'integrale PER PARTI procedo quindi nel seguente modo:
pongo $f(x)=1/(x^2+a^2)$ e $g(x)=e^(-iwx)$
procedendo con la risoluzione ottengo:
$2/sqrt(2pi)[-1/((x^2+a^2)w)e^(-iwx)tra(0,+oo)] -2/sqrt(2pi)int_(0)^(+oo) (2x)/(w(x^2+a^2)^2) e^(-iwx)dx$
che ritengo più complesso dell'integrale di partenza.
Dove sbaglio?
Risposte
essendo tale funzione di classe L2 puoi applicare il th di Plancherel e quindi calcolare l'integrale con i residui usando il lemma di Jordan.
Poi scusa nella definizione di trasformata di Fourier non c'è il $ 1 / sqrt(2pi) $
Poi scusa nella definizione di trasformata di Fourier non c'è il $ 1 / sqrt(2pi) $
grazie del suggerimento, provo a calcolare...per quanto riguarda il coefficiente moltiplicativo è vero, nei testi non compare tale coefficiente, ma avendolo negli appunti e negli esercizi, ce lo metto
(anche wikipedia lo riporta)...mi viene da pensare sia una semplice convenzione...nulla più


Hai ragione, per il coefficiente...in pratica la definizione classica di trasformata è senza la costante e si usa indicare con $ hat(x) $ (w) data la funzione x(t). Mentre come definizione alternativa viene moltiplicata per il coefficiente ed indicata con X(w).
Così ho trovato sui miei appunti. Invece sul libro la notazione è sempre la stessa.
Generalmente si usa la prima, la seconda viene utilizzata perchè rende la formula di inversione più simile alla definizione.
questa nota l'avevo scritta talmente piccola che per non sbattermi troppo a decifrarla l'avevo proprio sorvolata!!
Così ho trovato sui miei appunti. Invece sul libro la notazione è sempre la stessa.
Generalmente si usa la prima, la seconda viene utilizzata perchè rende la formula di inversione più simile alla definizione.

spero non ti siano venuti problemi di vista per la mia domanda allora :=)
Ho risolto il problema, tra l'altro era anche sul Codegone...bisognava usare proprio il lemma di jordan usato proprio per il calcolo delle T.d.F. di funzioni razionali...comunque per dovere di cronaca, a chi può servire posto la soluzione per come serve a me con il termine moltiplicativo $1/sqrt(2pi)$:
La funzione integranda ha un polo di ordine 2 pari a $ pm ja $
dal lemma di Jordan ottengo la seguente espressione risolutiva:
$ int_(-oo )^(+oo ) e^{-jwx}/(x^2+a^2)dx ={ ( 2pij Res(ja) per w<0),( -2pijRes(-ja) per w>0):} $
ottengo quindi che:
$ Res(s=ja)=e^(-jws)/(s+ja)=e^(-jwja)/(ja+ja)=e^(wa)/(2ja) $
$ Res(s=-ja)=e^(-jws)/(s-ja)=e^(-jw(-ja))/(-ja-ja)=e^(-wa)/(-2ja) $
quindi:
$ int_(-oo )^(+oo ) e^{-jwx}/(x^2+a^2)dx ={ ( 2pij Res(ja) per w<0),( -2pijRes(-ja) per w>0):}={ ( pi e^(wa)/(a) per w<0),( pie^(-wa)/(a) per w>0):}=(pie^(-|w|a))/a $
moltiplico per il coefficiente $1/sqrt(2pi)$ ed ottengo il risultato richiesto dal testo dell'esercizio:
$1/sqrt(2pi)pie^(-|w|a)=sqrt(pi)/sqrt(2)(e^(-|w|a))/a$
Ho risolto il problema, tra l'altro era anche sul Codegone...bisognava usare proprio il lemma di jordan usato proprio per il calcolo delle T.d.F. di funzioni razionali...comunque per dovere di cronaca, a chi può servire posto la soluzione per come serve a me con il termine moltiplicativo $1/sqrt(2pi)$:
La funzione integranda ha un polo di ordine 2 pari a $ pm ja $
dal lemma di Jordan ottengo la seguente espressione risolutiva:
$ int_(-oo )^(+oo ) e^{-jwx}/(x^2+a^2)dx ={ ( 2pij Res(ja) per w<0),( -2pijRes(-ja) per w>0):} $
ottengo quindi che:
$ Res(s=ja)=e^(-jws)/(s+ja)=e^(-jwja)/(ja+ja)=e^(wa)/(2ja) $
$ Res(s=-ja)=e^(-jws)/(s-ja)=e^(-jw(-ja))/(-ja-ja)=e^(-wa)/(-2ja) $
quindi:
$ int_(-oo )^(+oo ) e^{-jwx}/(x^2+a^2)dx ={ ( 2pij Res(ja) per w<0),( -2pijRes(-ja) per w>0):}={ ( pi e^(wa)/(a) per w<0),( pie^(-wa)/(a) per w>0):}=(pie^(-|w|a))/a $
moltiplico per il coefficiente $1/sqrt(2pi)$ ed ottengo il risultato richiesto dal testo dell'esercizio:
$1/sqrt(2pi)pie^(-|w|a)=sqrt(pi)/sqrt(2)(e^(-|w|a))/a$