Dimostrazione della serie 1/n^2

mcadei
Buongiorno, non riesco proprio a capire questa cosa: come posso dimostrare col criterio del confronto che la serie
[tex]\sum_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k^{2}}[/tex] converge a s ( = somma della serie) < 2 ?
Grazie mille in anticipo

Risposte
Rigel1
Per ogni \(k\geq 2\) hai che
\[
\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\,.
\]
Di conseguenza, per \(n\geq 2\) hai che
\[
s_n := \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} = 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2} <
1 + \sum_{k=2}^n \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\right) = 2 - \frac{1}{n}\,.
\]
Adesso dovresti essere in grado di trarre le dovute conseguenze.

mcadei
Scusami, ma non mi è per niente chiaro l'ultimo passaggio: come arrivi a 2 - 1/n ?

Il teorema del confronto non dice che se 0 < ak (1/k^2) < bk (1/(k(k-1)) allora se la serie di termine generale bk converge allora converge anche la serie di termine generale ak ? Perciò come fai a fare il secondo passaggio in cui dici che
1 + serie (1/k^2 ) < ..... (non capisco cosa giustifica questo passaggio)
Grazie mille per l'aiuto

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