Dimostrazione della regola di De l'Hopital
prendiamo il caso $\infty$ su $\infty$...e consideriamo il sottocaso in cui il valore del limite è finito...
tralasciamo la prima parte che chi dovrebbe rispondere conosce sicuramente...Sintetizzando:abbiamo la definizione di limite, da quella poi applica il teorema di cauchy e successivamente si ricava che
$L-\epsilon \prec \frac{f(x)}{g(x)} \prec L+\epsilon$ da cui si deduce che la funzione si mantiene limitata...
ora nel libro dice che:
$L-\epsilon \prec$ LimiteInf $\frac{f(x)}{g(x)} \leq$ LimiteSup $\frac{f(x)}{g(x)} \prec L+\epsilon$
come si deduce poi che il limsup e il liminf sono uguali da cui il lim per x che tende ad a da destra è uguale ad L?
tralasciamo la prima parte che chi dovrebbe rispondere conosce sicuramente...Sintetizzando:abbiamo la definizione di limite, da quella poi applica il teorema di cauchy e successivamente si ricava che
$L-\epsilon \prec \frac{f(x)}{g(x)} \prec L+\epsilon$ da cui si deduce che la funzione si mantiene limitata...
ora nel libro dice che:
$L-\epsilon \prec$ LimiteInf $\frac{f(x)}{g(x)} \leq$ LimiteSup $\frac{f(x)}{g(x)} \prec L+\epsilon$
come si deduce poi che il limsup e il liminf sono uguali da cui il lim per x che tende ad a da destra è uguale ad L?
Risposte
Ciao! Semplicemente devi considerare il fatto che $epsilon$ è una quantità molto piccola, quindi il limite superiore e quello inferiore sono compresi tra due quantità che tendono ad assumere lo stesso valore $L$, di conseguenza queste quantità sono uguali, per cui esiste il limite.
grazie ... le cose troppo facili non vengono mai in mente
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