Dimostrazione della linearità dell'integrale di Riemann
Buonasera a tutti.
Proposizione. Siano $f(x): [a,b]->RR$ e $g(x):[a,b]->RR$ due funzione integrabili (secondo Riemann) su $[a,b]$.
Allora, date due costanti $lambda, mu in RR$, si ha che $lambdaf(x)+mug(x)$ è integrabile e vale
[tex]\boxed{\int_a^b \lambda f(x)+\mu g(x)dx= \lambda \int_a^b f(x)dx+\mu \int_a^bg(x)dx}[/tex]
Dim. Diamo per nota e dimostrata la proprietà analoga (linearità) per le funzioni a gradino.
Siano dunque $u_1(x)$ e $v_1(x)$ due funzioni a gradini definite su $[a,b]$ tali che $u_1(x)<=f(x)<=v_1(x)$. Analogamente, siano $u_2(x)$ e $v_2(x)$ due funzioni definite su $[a,b]$ tali che $u_2(x)<=g(x)<=v_2(x)$.
Queste due catene di disuguaglianze si possono combinare linearmente, più precisamente si ottiene:
$lambda u_1+mu u_2<=lambda f(x)+mu g(x)<=lambda v_1 + mu v_2$
Le funzioni $lambda u_1+mu u_2$ e $lambda v_1 + mu v_2$ continuano a essere a scala (questo fatto è abbastanza intuitivo e lo diamo per buono senza dimostrarlo rigorosamente).
Se nell'ultima disuguaglianza passiamo agli integrali (... quanto è lecito questo passaggio?) otteniamo
$int_a^b lambda u_1+mu u_2<= mathcal I' (lambda f(x)+mu g(x))<=mathcal I'' (lambda f(x)+mu g(x))<= int_a^b lambda v_1 + mu v_2$
dove con $mathcal I'$ e $mathcal I''$ si intendono l'integrale inferiore e quello superiore.
Usando la linearità delle funzioni a gradino si ha
$lambda int_a^b u_1+mu int_a^b u_2 <= mathcal I' (lambda f(x)+mu g(x))<=mathcal I'' (lambda f(x)+mu g(x))<= lambda int_a^b v_1 + mu int_a^b v_2$
Infine, prendiamo al primo membro gli estremi superiori dei due termini (al variare delle funzioni $u_i$ che minorano $f$ e $g$) e all'ultimo membro gli estremi inferiori dei due termini (al variare delle funzioni $v_i$ che maggiorano $f$e $g$): si ha
$lambda mathcal I'(f) +mu mathcal I'(g) <= mathcal I' (lambda f(x)+mu g(x))<=mathcal I'' (lambda f(x)+mu g(x))<=lambda mathcal I''(f) +mu mathcal I''(g)$
L'integrabilità di $f$ e $g$ garantisce che il primo e l'ultimo membro sono uguali e precisamente valgono $lambda int_a^b f(x)dx + mu int_a^b g(x)dx$. Dunque $lambda f(x)+mu g(x)$ è integrabile su $[a,b]$ ($mathcal I' = mathcal I''$) e sempre dalle disuguaglianze si deduce immediatamente la seconda parte della tesi.
Mi rendo conto di essere stato talora un po' superficiale sulla forma (i $dx$ li ho tralasciati volutamente a volte per evitare di appesantire troppo la notazione) ma quello che mi interessa è sapere se è giusta o no l'essenza della dimostrazione.
Voi che ne dite?
Vi ringrazio per il parere.
Proposizione. Siano $f(x): [a,b]->RR$ e $g(x):[a,b]->RR$ due funzione integrabili (secondo Riemann) su $[a,b]$.
Allora, date due costanti $lambda, mu in RR$, si ha che $lambdaf(x)+mug(x)$ è integrabile e vale
[tex]\boxed{\int_a^b \lambda f(x)+\mu g(x)dx= \lambda \int_a^b f(x)dx+\mu \int_a^bg(x)dx}[/tex]
Dim. Diamo per nota e dimostrata la proprietà analoga (linearità) per le funzioni a gradino.
Siano dunque $u_1(x)$ e $v_1(x)$ due funzioni a gradini definite su $[a,b]$ tali che $u_1(x)<=f(x)<=v_1(x)$. Analogamente, siano $u_2(x)$ e $v_2(x)$ due funzioni definite su $[a,b]$ tali che $u_2(x)<=g(x)<=v_2(x)$.
Queste due catene di disuguaglianze si possono combinare linearmente, più precisamente si ottiene:
$lambda u_1+mu u_2<=lambda f(x)+mu g(x)<=lambda v_1 + mu v_2$
Le funzioni $lambda u_1+mu u_2$ e $lambda v_1 + mu v_2$ continuano a essere a scala (questo fatto è abbastanza intuitivo e lo diamo per buono senza dimostrarlo rigorosamente).
Se nell'ultima disuguaglianza passiamo agli integrali (... quanto è lecito questo passaggio?) otteniamo
$int_a^b lambda u_1+mu u_2<= mathcal I' (lambda f(x)+mu g(x))<=mathcal I'' (lambda f(x)+mu g(x))<= int_a^b lambda v_1 + mu v_2$
dove con $mathcal I'$ e $mathcal I''$ si intendono l'integrale inferiore e quello superiore.
Usando la linearità delle funzioni a gradino si ha
$lambda int_a^b u_1+mu int_a^b u_2 <= mathcal I' (lambda f(x)+mu g(x))<=mathcal I'' (lambda f(x)+mu g(x))<= lambda int_a^b v_1 + mu int_a^b v_2$
Infine, prendiamo al primo membro gli estremi superiori dei due termini (al variare delle funzioni $u_i$ che minorano $f$ e $g$) e all'ultimo membro gli estremi inferiori dei due termini (al variare delle funzioni $v_i$ che maggiorano $f$e $g$): si ha
$lambda mathcal I'(f) +mu mathcal I'(g) <= mathcal I' (lambda f(x)+mu g(x))<=mathcal I'' (lambda f(x)+mu g(x))<=lambda mathcal I''(f) +mu mathcal I''(g)$
L'integrabilità di $f$ e $g$ garantisce che il primo e l'ultimo membro sono uguali e precisamente valgono $lambda int_a^b f(x)dx + mu int_a^b g(x)dx$. Dunque $lambda f(x)+mu g(x)$ è integrabile su $[a,b]$ ($mathcal I' = mathcal I''$) e sempre dalle disuguaglianze si deduce immediatamente la seconda parte della tesi.
Mi rendo conto di essere stato talora un po' superficiale sulla forma (i $dx$ li ho tralasciati volutamente a volte per evitare di appesantire troppo la notazione) ma quello che mi interessa è sapere se è giusta o no l'essenza della dimostrazione.
Voi che ne dite?
Vi ringrazio per il parere.
Risposte
si, direi che nella sostanza la dimostrazione vada bene.Anche se mi puzza un pò quando integri la disuguaglianza, magari alzo fumo per niente, ma se integri sui due lati perchè in mezzo puoi "spezzare" con somme superiori e inferiori tranquillamente?...
Mi sa che su quel passaggio, devi riflettere alle partizioni che puoi creare e tirar fuori un pò di $\epsilon$...
cioè per tenere vero quel passaggio devi mostrare (se è vero) che $\int u<= mathcal I' (f)$ e $mathcal I'' (f)<=\int v$. A questo punto, senza passare per l'integrare la disugualgianza crei direttamenteessa, evitando i possibili problemi che ti ho citato nella mia prima riga. Io partirei direttamente da qui quindi.
Mi sa che su quel passaggio, devi riflettere alle partizioni che puoi creare e tirar fuori un pò di $\epsilon$...
cioè per tenere vero quel passaggio devi mostrare (se è vero) che $\int u<= mathcal I' (f)$ e $mathcal I'' (f)<=\int v$. A questo punto, senza passare per l'integrare la disugualgianza crei direttamenteessa, evitando i possibili problemi che ti ho citato nella mia prima riga. Io partirei direttamente da qui quindi.
Ciao fu,
ti ringrazio per la risposta. Mi fa piacere che condividi i miei dubbi circa quel passaggio. Tuttavia mi è venuta in mente una cosa giusto ora. Vediamo come aggiustare un po' le cose.
Giusto.
Dunque:
$omega(x)=lambda u_1(x) + mu u_2(x)$ è una funzione a scala per cui risulta $omega<=lambdaf(x)+mug(x)$. Perciò possiamo dire che $omega$ è a scala minorante per la combinazione lineare di $f$ e $g$. Da ciò segue che l'integrale di una generica $omega$ è minore od uguale al loro sup; qual è il loro sup? Evidentemente $I'(lambda f(x)+mu g(x))$: in breve
$int_a^b(lambda u_1(x) + mu u_2(x))dx<=I'(lambdaf(x)+mug(x))$
Idem per l'altro: le maggioranti sono tutte "maggiori" (eheh
) del loro inf: $I''(lambdaf(x)+mug(x))<=int_a^b(lambda v_1(x) + mu v_2(x))dx$. Sfruttando l'ovvio fatto che deve essere $mathcal I'<=mathcal I''$ si possono mettere insieme i quattro pezzi e ottenere quella disuguaglianza.
Va meglio ora? Ti ringrazio molto per l'aiuto.
ti ringrazio per la risposta. Mi fa piacere che condividi i miei dubbi circa quel passaggio. Tuttavia mi è venuta in mente una cosa giusto ora. Vediamo come aggiustare un po' le cose.
"fu^2":
Devi mostrare (se è vero) che $\int u<= mathcal I' (f)$ e $mathcal I'' (f)<=\int v$.
Giusto.
Dunque:
$omega(x)=lambda u_1(x) + mu u_2(x)$ è una funzione a scala per cui risulta $omega<=lambdaf(x)+mug(x)$. Perciò possiamo dire che $omega$ è a scala minorante per la combinazione lineare di $f$ e $g$. Da ciò segue che l'integrale di una generica $omega$ è minore od uguale al loro sup; qual è il loro sup? Evidentemente $I'(lambda f(x)+mu g(x))$: in breve
$int_a^b(lambda u_1(x) + mu u_2(x))dx<=I'(lambdaf(x)+mug(x))$
Idem per l'altro: le maggioranti sono tutte "maggiori" (eheh
) del loro inf: $I''(lambdaf(x)+mug(x))<=int_a^b(lambda v_1(x) + mu v_2(x))dx$. Sfruttando l'ovvio fatto che deve essere $mathcal I'<=mathcal I''$ si possono mettere insieme i quattro pezzi e ottenere quella disuguaglianza. Va meglio ora? Ti ringrazio molto per l'aiuto.
Si, l'idea è proprio questa. Una cosa: $omega$ ok che è una funzione a scala, però mica tutte le funzioni a scala vanno bene, Devi scegliere $omega$ usando la partizione dal "sotto" che poi il suo sup genera la somma inferiore (per intenderci la funzione a scala con le altezze sotto la linea del grafico della funzione).
Un'altra cosa: queste partizioni sono monotone crescenti, questo può tornare utile nella vita... (mentre le scale dal sopra sono monotone discendenti) infatti ottieni non solo che puoi maggiorare col sup, ma quel sup è propio il limite delle funzioni a scala che crei e questo ti interessa dopo, ovvero quando passi al limite nell'ultima disuguaglianza che hai scritto - quella subito prima di quando usi l'ipotesi dell'integrabilità di $f$ e $g$ - altrimenti anche li, perchè puoi prendere a libero albitrio il sup da una parte e l'inf dall'altra in una stessa concatenzaione salvaguardando tutto? non è ovvio a priori... per salvare la situazione è sufficiente avere catene monotone in quanto, passando al limite su tutto hai le convegenze ai due lati rispettivamente al sup e all'inf che è quello a cui vuoi arrivare.
Bisogna sfruttare il crescere da sinistra e il descrescere da destra in tutti i passaggi
ora la dimostrazione la si può iniziare dalla prima disuguaglianza.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro a parole, se non è così dimmelo che provo a rendere tutto più chiaro anche se l'idea a parole dovrebbe esserci.
Un'altra cosa: queste partizioni sono monotone crescenti, questo può tornare utile nella vita... (mentre le scale dal sopra sono monotone discendenti) infatti ottieni non solo che puoi maggiorare col sup, ma quel sup è propio il limite delle funzioni a scala che crei e questo ti interessa dopo, ovvero quando passi al limite nell'ultima disuguaglianza che hai scritto - quella subito prima di quando usi l'ipotesi dell'integrabilità di $f$ e $g$ - altrimenti anche li, perchè puoi prendere a libero albitrio il sup da una parte e l'inf dall'altra in una stessa concatenzaione salvaguardando tutto? non è ovvio a priori... per salvare la situazione è sufficiente avere catene monotone in quanto, passando al limite su tutto hai le convegenze ai due lati rispettivamente al sup e all'inf che è quello a cui vuoi arrivare.
Bisogna sfruttare il crescere da sinistra e il descrescere da destra in tutti i passaggi
ora la dimostrazione la si può iniziare dalla prima disuguaglianza.Spero di essere stato sufficientemente chiaro a parole, se non è così dimmelo che provo a rendere tutto più chiaro
anche se l'idea a parole dovrebbe esserci.
Ciao,
ancora una volta grazie mille per la risposta. Soltanto una domanda, se posso. Non ho capito esattamente che cosa intendi qui:
Porta pazienza, sarò io che sono rintronato
, ma non riesco a capire ciò che vuoi dire.
Il resto è chiarissimo, grazie mille per l'aiuto.
Paolo
ancora una volta grazie mille per la risposta. Soltanto una domanda, se posso. Non ho capito esattamente che cosa intendi qui:
"fu^2":
Si, l'idea è proprio questa. Una cosa: $omega$ ok che è una funzione a scala, però mica tutte le funzioni a scala vanno bene, Devi scegliere $omega$ usando la partizione dal "sotto" che poi il suo sup genera la somma inferiore (per intenderci la funzione a scala con le altezze sotto la linea del grafico della funzione).
Porta pazienza, sarò io che sono rintronato
, ma non riesco a capire ciò che vuoi dire. Il resto è chiarissimo, grazie mille per l'aiuto.
Paolo
intendo dire che l'integrale di Riemann è strutturato da due parti, una è la partizione per difetto diciamo e l'altra per eccesso.
Per essere più precisi, data una partizione $a=x_0,...,x_n=b$ le funzioni [tex]\omega(x)=\displaystyle\sum_{j=0}^{n-1} \inf_{x\in [x_j,x_{j+1}]}\{f(x)\}\chi_{[x_j,x_{j+1}]}(x)[/tex], Se al posto dell'inf prendi il sup trovi le altre funzioni a scalino.
Queste se noti sono monotone e il sup del loro integrale che è per definizione dato da [tex]\displaystyle\sum_{j=0}^{n-1} \inf_{x\in [x_j,x_{j+1}]}\{f(x)\}(x_{j+1}-x_j)[/tex] è per definizione l'integrale inferiore. Inoltre anche i loro integrali formano una successione monotona crescente e questo fatto ti interessa per potere definire tutto quanto, ovvero poni l'integrale inferiore [tex]\underline{\displaystyle\int_a^b}f=\sup\displaystyle\int_a^b\omega(x)[/tex]
"[...]Un'altra cosa: queste partizioni sono monotone crescenti, questo può tornare utile nella vita... (mentre le scale dal sopra sono monotone discendenti) infatti ottieni non solo che puoi maggiorare col sup, ma quel sup è propio il limite delle funzioni a scala che crei e questo ti interessa dopo, ovvero quando passi al limite nell'ultima disuguaglianza che hai scritto - quella subito prima di quando usi l'ipotesi dell'integrabilità di $f$ e $g$ - altrimenti anche li, perchè puoi prendere a libero albitrio il sup da una parte e l'inf dall'altra in una stessa concatenzaione salvaguardando tutto? non è ovvio a priori... per salvare la situazione è sufficiente avere catene monotone in quanto, passando al limite su tutto hai le convegenze ai due lati rispettivamente al sup e all'inf che è quello a cui vuoi arrivare.
Bisogna sfruttare il crescere da sinistra e il descrescere da destra in tutti i passaggi [...]"
dovresti riuscire a ricostruire il ragionamento.
Chiarito ora?
Per essere più precisi, data una partizione $a=x_0,...,x_n=b$ le funzioni [tex]\omega(x)=\displaystyle\sum_{j=0}^{n-1} \inf_{x\in [x_j,x_{j+1}]}\{f(x)\}\chi_{[x_j,x_{j+1}]}(x)[/tex], Se al posto dell'inf prendi il sup trovi le altre funzioni a scalino.
Queste se noti sono monotone e il sup del loro integrale che è per definizione dato da [tex]\displaystyle\sum_{j=0}^{n-1} \inf_{x\in [x_j,x_{j+1}]}\{f(x)\}(x_{j+1}-x_j)[/tex] è per definizione l'integrale inferiore. Inoltre anche i loro integrali formano una successione monotona crescente e questo fatto ti interessa per potere definire tutto quanto, ovvero poni l'integrale inferiore [tex]\underline{\displaystyle\int_a^b}f=\sup\displaystyle\int_a^b\omega(x)[/tex]
"[...]Un'altra cosa: queste partizioni sono monotone crescenti, questo può tornare utile nella vita... (mentre le scale dal sopra sono monotone discendenti) infatti ottieni non solo che puoi maggiorare col sup, ma quel sup è propio il limite delle funzioni a scala che crei e questo ti interessa dopo, ovvero quando passi al limite nell'ultima disuguaglianza che hai scritto - quella subito prima di quando usi l'ipotesi dell'integrabilità di $f$ e $g$ - altrimenti anche li, perchè puoi prendere a libero albitrio il sup da una parte e l'inf dall'altra in una stessa concatenzaione salvaguardando tutto? non è ovvio a priori... per salvare la situazione è sufficiente avere catene monotone in quanto, passando al limite su tutto hai le convegenze ai due lati rispettivamente al sup e all'inf che è quello a cui vuoi arrivare.
Bisogna sfruttare il crescere da sinistra e il descrescere da destra in tutti i passaggi [...]"
dovresti riuscire a ricostruire il ragionamento.
Chiarito ora?
Ok, chiarissimo. Ti ringrazio molto.
GRAZIE mille.
GRAZIE mille.
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