Dimostrazione della formula del gradiente

[massimino's]

Ciao:)

Cerco un aiuto riguardo una parteche ho appena studiato e non mi è chiara riguardo la formula del gradiente che mi ha aperto dei dubbi sul differenziale (prendiamo in esempio una funzione differenziabile in 2 variabili)

So che il differenziale è (dai miei videoappunti):

$f(x+h,y+k)=f(x,y)+(df)/(dx)h+(df)/(dx)k+o(\sqrt(h^2+k^2))$ (ho alleggerito la notazione ma si intende in $x_0$ ecc.)

dove $h=x-x_0$ e $k=y-y_0$ dice il Prof.

Poi ho studiato la dimostrazione della formula del gradiente:

Data la funzione $f$ differenziabile e un versore $w=(u,v)$ dimostro la formula del gradiente per trovare la derivata direzionale

Riprendiamo la nostra bella


$f(x+h,y+k)=f(x,y)+(df)/(dx)h+(df)/(dx)k+o(\sqrt(h^2+k^2))$

e prendo un incremento così scritto: $(h,k)=(uDeltat,vDeltat)$

Potendo ora riscrivere

$f(x+h,y+k)-f(x,y)=(df)/(dx)uDeltat+(df)/(dx)vDeltat+o(|Deltat|)$

Dividendo ambo i membri per $Deltat$ e passando al limite:

$(df)/(dw)=(df)/(dx)u+(df)/(dy)v$

Veniamo al dubbio: non credo di aver capito il perché posso scrivere: $(h,k)=(uDeltat,vDeltat)$ che non mi pare in generale vero, infatti a seconda del valore di u e v ho un vettore dato dalla coppia ordinata di valori che punta in diverse direzioni del piano x,y.

Se però prendo in considerazione la formula del differenziale se considero che $h=x-x_0$ e $k=y-y_0$ non mi pare di avere questa libertà di movimento del vettore (h,k).

Non so bene come spiegarlo in realtà, però mi pare che preso $uDeltat$ a seconda di u al variare di $Deltat$ mi muovo in un certo modo sull'asse delle x, mentre preso $h=x-x_0$ alvariare di x e anche nel limite di $lim_(x->0)x-x_0$ mi avvicino nello stesso modo ("stessa velocità") a zero, mentre con $lim_(Delta_t->0)uDeltat$

Scusate la poca formalità ma non so bene come spiegarlo meglio

[gugo82]

Semplicemente, lui sta considerando incrementi $(h,k)$ che proporzionali ad un vettore fissato $(u,v)$.

[massimino's]

Sì, hai ragione, il punto è proprio quello: che non so bene come mostrarlo. [Mi riferisco al tuo messagio pre edit , che per ogni h e k posso scrivere così]

Inoltre (in aggiunta) non capisco qualcosa di più basilare e su cui non avevo posto molta attenzione e credo sia il momento di recuperare questo grande problema. Ossia l'incremento h, non riesco bene a capacitarmi di perché possa "crescere" più velocemente di k; intendo cioè dire che se mi sposto di h sulle x perché sulle y posso spostarmi del doppio in valori? Quando io scrivo x-x0 o y-y0 non c'è traccia di come y si sia spostato rispetto a x.

In una variabile questo problema non mi si pone, nel senso che $df=f'(x)h$ non mi crea problemi poiché è unico l'incremento, ma in due variabili mi turba.

Ti prego di scusarmi, sento che è una cosa facile ma davvero sento che c'è qualcosa che mi sfugge

[gugo82]

Stai considerando solo incrementi su rette; di tutti gli altri casi non te ne importa un fico secco, perché vuoi calcolare una derivata direzionale.

[massimino's]

[EDIT] aggiusto errore

Verissimo, hai ragione. Sostanzialmente io scelgo a piacere come far variare h e k e trovo le rette, non so perchéma ero convinto h e k dovessero crescere allo stesso modo e mi veniva sempre solo la bisettrice. Perché dicevo metto x= valore y= stesso valore e x-x0 e y-y0 non contengono informazione di quanto farla variare. Il punto è che posso scegliere y=2x così da avere per una certa x il doppio sulle y.

Se quanto detto è giusto rimarrebbe solo una cosa, sostanzialmente devo poter mostrare che dato che posso incrementare di un certo valore sulle y $y=cx$ questo vuol dire che $h=x-x_0$ corrisponde a un $k=y-y_0=cx-y_0$ e tutti gli incrementi sono di questo tipo, considerando questo fatto devo mostrare che $(h,k)$ posso scriverlo come $(uDeltat,vDeltat)$.
Ma non capisco come.