Dimostrazione della formula del binomio di Newton
Salve ragazzi mi sono bloccato nello svolgere questa dimostrazione, vi mostro i passaggi per mostravi dove sono arrivato:
Dimostrato il passo base per l'induzione scrivo:
$(a+b)^(n+1)=(a+b)(sum_(k = \0)^(n) ( (n), (k) )a^(n-k)b^k)= asum_(k = \0)^(n) ( (n), (k) )a^(n-k)b^k + bsum_(k = \0)^(n) ( (n), (k) )a^(n-k)b^k$
da qui poi:
$sum_(k = \0)^(n) ( (n), (k) )a^(n+1-k)b^k + sum_(k = \0)^(n) ( (n), (k) )a^(n-k)b^(k+1)$
$sum_(k = \0)^(n) ( (n), (k) )a^(n+1-k)b^k + sum_(k = \1)^(n+1) ( (n), (k-1) )a^(n+1-k)b^(k) $ (*)
ora se ho fatto tutto bene sviluppando le sommatorie dovrei avere una cosa del genere:
$[( (n), (0) ) a^(n+1) + ( (n), (1) )a^nb + ( (n), (2) )a^(n-1)b^2+....+( (n), (n-1) )a^2b^(n-1)+( (n), (n) )ab^n]+ [( (n), (0) ) a^(n)b + ( (n), (1) )a^(n-1)b^2 + ( (n), (2) )a^(n-2)b^3+....+( (n), (n-1) )ab^(n)+( (n), (n) )b^(n+1)] $
questo è il punto in cui mi sono bloccato.
Sono riuscito a andare avanti quindi ora chiedo se è corretta la dimostrazione,
da quella di prima segue:
$( (n), (0) )a^(n+1) + sum_(k = \1)^(n)( (n+1), (k) )a^(n+1-k)b^k+( (n), (n) )b^(n+1)$
e il primo e l'ultimo membro di questa espressione sono proprio l'elemento della sommatoria per k=n+1 e k=0 siccome binomiale di un generico numero naturale sullo stesso numero naturale è uguale e siccome un qualsiasi numero naturale su 0 da sempre 1
è giusto scrivere:
$( (n), (0) )a^(n+1)=( (n+1), (0) )a^(n+1) $
$( (n), (n) )b^(n+1)=( (n+1), (n+1) )b^(n+1) $
concludendo:
$( (n), (0) )a^(n+1) + sum_(k = \1)^(n)( (n+1), (k) )a^(n+1-k)b^k + ( (n), (n) )b^(n+1)= sum_(k = \0)^(n+1)( (n+1), (k) )a^(n+1-k)b^k=(a+b)^(n+1) $
spero sia tutto corretto e di non aver fatto alcun passaggio sbagliato, l'unico passaggio di cui dubito è quello con asterisco (*) perché son andato un po' a "intuizione".
Dimostrato il passo base per l'induzione scrivo:
$(a+b)^(n+1)=(a+b)(sum_(k = \0)^(n) ( (n), (k) )a^(n-k)b^k)= asum_(k = \0)^(n) ( (n), (k) )a^(n-k)b^k + bsum_(k = \0)^(n) ( (n), (k) )a^(n-k)b^k$
da qui poi:
$sum_(k = \0)^(n) ( (n), (k) )a^(n+1-k)b^k + sum_(k = \0)^(n) ( (n), (k) )a^(n-k)b^(k+1)$
$sum_(k = \0)^(n) ( (n), (k) )a^(n+1-k)b^k + sum_(k = \1)^(n+1) ( (n), (k-1) )a^(n+1-k)b^(k) $ (*)
ora se ho fatto tutto bene sviluppando le sommatorie dovrei avere una cosa del genere:
$[( (n), (0) ) a^(n+1) + ( (n), (1) )a^nb + ( (n), (2) )a^(n-1)b^2+....+( (n), (n-1) )a^2b^(n-1)+( (n), (n) )ab^n]+ [( (n), (0) ) a^(n)b + ( (n), (1) )a^(n-1)b^2 + ( (n), (2) )a^(n-2)b^3+....+( (n), (n-1) )ab^(n)+( (n), (n) )b^(n+1)] $
questo è il punto in cui mi sono bloccato.
Sono riuscito a andare avanti quindi ora chiedo se è corretta la dimostrazione,
da quella di prima segue:
$( (n), (0) )a^(n+1) + sum_(k = \1)^(n)( (n+1), (k) )a^(n+1-k)b^k+( (n), (n) )b^(n+1)$
e il primo e l'ultimo membro di questa espressione sono proprio l'elemento della sommatoria per k=n+1 e k=0 siccome binomiale di un generico numero naturale sullo stesso numero naturale è uguale e siccome un qualsiasi numero naturale su 0 da sempre 1
è giusto scrivere:
$( (n), (0) )a^(n+1)=( (n+1), (0) )a^(n+1) $
$( (n), (n) )b^(n+1)=( (n+1), (n+1) )b^(n+1) $
concludendo:
$( (n), (0) )a^(n+1) + sum_(k = \1)^(n)( (n+1), (k) )a^(n+1-k)b^k + ( (n), (n) )b^(n+1)= sum_(k = \0)^(n+1)( (n+1), (k) )a^(n+1-k)b^k=(a+b)^(n+1) $
spero sia tutto corretto e di non aver fatto alcun passaggio sbagliato, l'unico passaggio di cui dubito è quello con asterisco (*) perché son andato un po' a "intuizione".
Risposte
il passaggio con l'asterisco è corretto, come anche la dimostrazione.
si sono corrette, tuttavia sono superflue perché quei binomiali valgono tutti $1$, quindi è chiaro che $1=1$ , (spero
).
"Marcot":
è giusto scrivere:
$ ( (n), (0) )a^(n+1)=( (n+1), (0) )a^(n+1) $
$ ( (n), (n) )b^(n+1)=( (n+1), (n+1) )b^(n+1) $
si sono corrette, tuttavia sono superflue perché quei binomiali valgono tutti $1$, quindi è chiaro che $1=1$ , (spero
).
"Bossmer":
il passaggio con l'asterisco è corretto, come anche la dimostrazione.
[quote="Marcot"]
è giusto scrivere:
$ ( (n), (0) )a^(n+1)=( (n+1), (0) )a^(n+1) $
$ ( (n), (n) )b^(n+1)=( (n+1), (n+1) )b^(n+1) $
si sono corrette, tuttavia sono superflue perché quei binomiali valgono tutti $1$, quindi è chiaro che $1=1$ , (spero
).[/quote]Grazie mille !
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