Dimostrazione della divergenza di un integrale improprio
Ciao a tutti! Sto facendo esercizi sulla convergenza degli integrali generalizzati!
L'integrale che vorrei dimostrare divergente è $ int_(1)^(oo) dx/ (x ln^2 x) $
Ls $f(x)$ è continua sull'intervallo $(1,+oo)$ , e studio la convergenza in un intorno di 1 e +oo .
Divido l'integrale in due : $ int_(1)^(oo) dx/ (x ln^2 x) = int_(1)^(a) dx/ (x ln^2 x) + int_(a)^(oo) dx/ (x ln^2 x) $
con $1
Per $x->+oo$ si ha che $ ln^2 x = O(x^c) , c>0 $ allora scrivo che $1/(x ln^2 x) = 1/(x O(x^c))= O(1/x^(c+1))$
Quindi, per $x->+oo$ la $1/ (x ln^2 x)$ si comporta come $1/x^(c+1)$ e perciò converge $AA c>0$
I problemi li ho con il primo integrale:
per $x->0$ lo sviluppo del logaritmo è : $ln^2 x = ((x-1)+O[(x-1)^2])^2$ .. svolgendo i quadrati vedo che tutti i termini con esponente $x^c , c>1$ si inglobano nel resto $O(x)$.. quindi ottengo che $1/x(ln^2 x) = 1/(x*(-2x +1 +O(x))) ~~ O(1/x^2)$
Qundi anche qua per $x->1+$ la $1/ (x ln^2 x)$ si comporta come $1/x^2$ che converge...
ma in realtà dovrebbe divergere!
sapreste dirmi dove sbaglio? grazie già da ora
L'integrale che vorrei dimostrare divergente è $ int_(1)^(oo) dx/ (x ln^2 x) $
Ls $f(x)$ è continua sull'intervallo $(1,+oo)$ , e studio la convergenza in un intorno di 1 e +oo .
Divido l'integrale in due : $ int_(1)^(oo) dx/ (x ln^2 x) = int_(1)^(a) dx/ (x ln^2 x) + int_(a)^(oo) dx/ (x ln^2 x) $
con $1
Per $x->+oo$ si ha che $ ln^2 x = O(x^c) , c>0 $ allora scrivo che $1/(x ln^2 x) = 1/(x O(x^c))= O(1/x^(c+1))$
Quindi, per $x->+oo$ la $1/ (x ln^2 x)$ si comporta come $1/x^(c+1)$ e perciò converge $AA c>0$
I problemi li ho con il primo integrale:
per $x->0$ lo sviluppo del logaritmo è : $ln^2 x = ((x-1)+O[(x-1)^2])^2$ .. svolgendo i quadrati vedo che tutti i termini con esponente $x^c , c>1$ si inglobano nel resto $O(x)$.. quindi ottengo che $1/x(ln^2 x) = 1/(x*(-2x +1 +O(x))) ~~ O(1/x^2)$
Qundi anche qua per $x->1+$ la $1/ (x ln^2 x)$ si comporta come $1/x^2$ che converge...
ma in realtà dovrebbe divergere!
sapreste dirmi dove sbaglio? grazie già da ora
Risposte
Ad infinito hai fatto un ragionamento sbagliato. Quel passaggio in cui un \(O\) grande passa dal denominatore al numeratore è uno strafalcione, pensaci un attimo.
Al finito invece ti consiglio di approssimare \(\log x\) al primo ordine. Tieni conto che, intorno ad \(1\), il logaritmo assomiglia alla retta \(x-1\).
Al finito invece ti consiglio di approssimare \(\log x\) al primo ordine. Tieni conto che, intorno ad \(1\), il logaritmo assomiglia alla retta \(x-1\).
"dissonance":
Ad infinito hai fatto un ragionamento sbagliato. Quel passaggio in cui un \(O\) grande passa dal denominatore al numeratore è uno strafalcione, pensaci un attimo.
hai ragione.. (la verità è che speravo di cavarmela barando in qualche modo eheh! )
è un errore dire che $O(x)=1/(O(x))=O(1/x)$ perché nessuna di quelle uguaglianze è vera.. (giusto!?) Allora come faccio a usare la funzione dentro la O grande?!?!
Forse sarebbe più conveniente trovare una funzione asintotica, per x->+oo, a $1/ln^2 x$ in modo che $1/(xln^2x) =1/x O(f(x))$..basterebbe dire che $1/ln^2 x = O(1/x^c)$ ??
"dissonance":
Al finito invece ti consiglio di approssimare logx al primo ordine. Tieni conto che, intorno ad 1, il logaritmo assomiglia alla retta x−1.
Si, ci ho provato $ln ^2 x ~~ (x-1)^2 $ ottengo $ 1/(x(x-1)^2)$ e ho visto che non converge!
Allora il problema è che non so usare la o-grande nelle operazioni!
"MrMeaccia":
$1/(xln^2x)=1/(xO(x^c))=O(1/x^(c+1))$
In questo caso, come avrei dovuto fare?
p.s. : Grazie per la risposta
Ad infinito il confronto asintotico non funziona. \(1 / xlog^2 x\) è un infinitesimo di ordine "appena appena" superiore ad \(1/x\), ma non abbastanza da poter concludere che l'integrale converge. Tuttavia in questo caso credo che una primitiva sia calcolabile esplicitamente. Provaci un po'.
Quello che cercavo di fare era di imparare ad utilizzare i simboli di Landau nello studio degli integrali! E ho provato con questa funzione proprio perché è "facile" !! la primitiva è $ -1/ln x +c$ e quindi sarebbe $lim_(x_1->+oo) -1/ln x_1 + 1/ln a$ .
Ti posso chiedere una cosa? Quali sono le condizioni per usare O-grande e o-piccolo come resto dello sviluppo di taylor?
Non capisco perrché un libro usa o-piccolo mentre negli esercizi il nostro professore usa Ogrande!
Ti posso chiedere una cosa? Quali sono le condizioni per usare O-grande e o-piccolo come resto dello sviluppo di taylor?
Non capisco perrché un libro usa o-piccolo mentre negli esercizi il nostro professore usa Ogrande!
C'è il post di Gugo che spiega bene come funzionano questi simboli. La questione "o-piccolo, O-grande" comunque l'abbiamo già trattata qui:
sviluppo-di-taylor-e-lecito-scriverlo-cosi-t73000.html
Dai un'occhiata. Nella pratica, quale delle due formulazioni tu scelga di adottare è perfettamente equivalente.
sviluppo-di-taylor-e-lecito-scriverlo-cosi-t73000.html
Dai un'occhiata. Nella pratica, quale delle due formulazioni tu scelga di adottare è perfettamente equivalente.
Ottimo! Avevo già letto il post di Gugo.. ora me lo studierò per bene! Grazie dissonance!
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