Dimostrazione del teorema di weirstrass
Sul libro di analisi (funzioni di una variabile M.Giaquinta e G.modica) è riportata la seguente dimostrazioni del teorema di weirstrass.
Teorema: Ogni funzione continua $ f:[a,b]->RR $, definita e continua su un intervallo chiuso e limitato, ha massimo e minimo.
Dim:
Mostriamo che $ f $ ha minimo. Sia $ L:= "inf"_{x in [a,b]} f(x) $ , a priori anche $ - infty $ . Per ogni $ t>L $ sia $ E_t:={x in [a,b]| f(x)
Dimostriamo ora, usando il teorema della permanenza del segno, che $ x_0 $ è un punto di minimo, i.e., $ f(x_0)=L $. Ragioniamo per assurdo distinguendo i tre casi $ x_0 in (a,b) $ , $ x_0=a $ , $ x_0=b $.
Nel primo caso, se fosse $ f(x_0)>L $, esisterebbero $ M>0 $ e $ delta >0 $ tali che per ogni $ x in (x_0-delta,x_0+delta) $ si avrebbe $ f(x)>M $, essendo $ f $ continua in $ x_0 $; in particolare per ogni $ t in (L,M] $ $ E_t $ non conterrebbe nessun punto dell'intervallo $ (x_0-delta,x_0+delta) $ e dunque
$ AA tin(L,M] $ o $ x(t)<=x_0-delta $ o $ x(t)>=x_0+delta $.
Questo è assurdo. Infatti la seconda alternativa $ x(t)>=x_0+delta $ è sempre impossibile per la definizione di $ x_0 $. Si avrebbe dunque che $ x(t)<=x_0-delta $ per ogni $ tin(L,M] $ e dunque $ x_0="sup"_(t>L)x(t)<=x_0-delta $ per la decrescrenza di $ x(t) $ un assurdo.
I casi $ x_0=a $ , $ x_0=b $ sono simili e più semplici del caso $ x_0in(a,b) $ e vengono lasciati al lettore.
Il mio problema principale nel capire tale dimostrazione sta nel fatto che non riesco a capire cosa sia la funzione x(t),
"Osserviamo che $ x(t) $ è decrescente e limitata inferiormente...." non capisco con questa frase se definisce una funzione o se associa a x il valore corrispondente t. Vorrei sapere innanzitutto cos'è x(t) e poi capire da li in poi come si svolge la dimostrazione. Grazie in anticipo.
Teorema: Ogni funzione continua $ f:[a,b]->RR $, definita e continua su un intervallo chiuso e limitato, ha massimo e minimo.
Dim:
Mostriamo che $ f $ ha minimo. Sia $ L:= "inf"_{x in [a,b]} f(x) $ , a priori anche $ - infty $ . Per ogni $ t>L $ sia $ E_t:={x in [a,b]| f(x)
Dimostriamo ora, usando il teorema della permanenza del segno, che $ x_0 $ è un punto di minimo, i.e., $ f(x_0)=L $. Ragioniamo per assurdo distinguendo i tre casi $ x_0 in (a,b) $ , $ x_0=a $ , $ x_0=b $.
Nel primo caso, se fosse $ f(x_0)>L $, esisterebbero $ M>0 $ e $ delta >0 $ tali che per ogni $ x in (x_0-delta,x_0+delta) $ si avrebbe $ f(x)>M $, essendo $ f $ continua in $ x_0 $; in particolare per ogni $ t in (L,M] $ $ E_t $ non conterrebbe nessun punto dell'intervallo $ (x_0-delta,x_0+delta) $ e dunque
$ AA tin(L,M] $ o $ x(t)<=x_0-delta $ o $ x(t)>=x_0+delta $.
Questo è assurdo. Infatti la seconda alternativa $ x(t)>=x_0+delta $ è sempre impossibile per la definizione di $ x_0 $. Si avrebbe dunque che $ x(t)<=x_0-delta $ per ogni $ tin(L,M] $ e dunque $ x_0="sup"_(t>L)x(t)<=x_0-delta $ per la decrescrenza di $ x(t) $ un assurdo.
I casi $ x_0=a $ , $ x_0=b $ sono simili e più semplici del caso $ x_0in(a,b) $ e vengono lasciati al lettore.
Il mio problema principale nel capire tale dimostrazione sta nel fatto che non riesco a capire cosa sia la funzione x(t),
"Osserviamo che $ x(t) $ è decrescente e limitata inferiormente...." non capisco con questa frase se definisce una funzione o se associa a x il valore corrispondente t. Vorrei sapere innanzitutto cos'è x(t) e poi capire da li in poi come si svolge la dimostrazione. Grazie in anticipo.
Risposte
Puoi fare il disegno per varie \(E_{t}\) ma non so quanto ti sia utile, la morale è che servono per la dimostrazione del teorema. \(x(t)\) è definita per ogni \(t>L\). Se \(t=t'\) allora \(E(t)=E(t')\) e quindi \(\inf E_{t}=\inf E_{t'}\) da cui \(x(t)=x(t')\) e \(x(t)\) è ben definita secondo la definizione stessa di funzione.
No scusa ma non capisco molto la tua risposta. $ E_t $ è l'insieme degli x per cui la funzione f(x) sta al di sotto del valore t. x(t) per come la vedo io è una funzione che ha come variabile indipendente t e come variabile dipendente x. Non riesco proprio a vederla la funzione x(t).
Vuoi forse dire che la funzione x(t) sono tutti gli x per cui t>L ?? Perchè L è l'estremo inferiore della funzione quindi qualsiasi t è maggiore di L.
Al posto di \(x(t)\) puoi scrivere \(g(t)\) se la \(x\) ti confonde. Definire una funzione significa associare ad ogni punto di un dominio (\(t\) t.c. \(t>L\)) un punto unico (\(\inf E_{t}\)) del codominio, quindi \(g(t)=\inf E_{t}\). Una volta che la funzione è data ed è ben definita devi usare le sue proprietà per studiarla, che essa sia intuitiva o meno.
Intanto grazie. Quindi la mia funzione x(t) =inf $ E_t $ è una funzione che ha come immagine un solo punto?? Come può essere tale funzione decrescente??
Associa a \(t\) un unico \(\inf E_{t}\), ma se \(s\neq t\) allora \(x(t)\) non è necessariamente uguale a \(x(s)\). Se \(t
Per la decrescenza, ad esempio se \([0,1]\subset [-1,2]\) allora \(\inf [0,1]\geq \inf [-1,2]\) infatti \(\inf [0,1]=0\) e \(\inf [-1,2]=-1\). Prendiamo l'\(\inf\) di un insieme più grande quindi il valore è uguale o più piccolo.
Per la decrescenza, ad esempio se \([0,1]\subset [-1,2]\) allora \(\inf [0,1]\geq \inf [-1,2]\) infatti \(\inf [0,1]=0\) e \(\inf [-1,2]=-1\). Prendiamo l'\(\inf\) di un insieme più grande quindi il valore è uguale o più piccolo.
Scusa se insisto, quindi posso affermare che la mia funzione x(t) non è altro che la funzione inversa di f(x) definita per tutti i t>L e quindi limitata inferiormente da L o sbaglio?
La funzione \(x(t)\) è la funzione \(x(t)\) e basta, deal with it. Ora quello che devi fare è usare le sue proprietà e continuare con la dimostrazione. Perché è limitata inferiormente? Perché esiste \(M\) t.c. \(M\leq x(t)\) per ogni \(t>L\). Siccome cerco l'\(\inf\) in \(E_{t}\subset [a,b]\) avrò per quanto detto prima \(\inf[a,b]\leq \inf E_{t}\), \(M=\inf[a,b]\). Se non ti viene immediato puoi fare uno schizzo. Ora continua con il resto della dimostrazione.
Ok grazie.
Ho guardato il pezzettino successivo riguardante l'esistenza del limite finito della funzione \(x(t)\) in \(L\). Supponiamo \(L\) finito. Come scritto nel Pagani-Salsa Def 2.2 Cap. 4, se il limite per \(t\rightarrow L\) di \(x(t)\) fosse \(+\infty\) avresti che per ogni \(R>0\) esiste \(\delta >0\) t.c. \(x(t)>R\) se \(x \in (L-\delta,L+\delta)\backslash L\). Assurdo ponendo \(R=b\) dato che \(x(t)\leq b\), quindi \(\delta\) non esiste e non esiste un limite simile.
Allo stesso modo provi che nel caso \(L\) infinito un limite che porta \(x(t)\) all'infinito non esiste quindi il limite \(t\rightarrow L\) esiste finito. Siccome \(x(t)\leq b\) per ogni \(t>L\) si ha che \(b\) è un maggiorante, quindi \(x(t)\leq x_{0}\) il minore dei maggioranti, che sappiamo essere finito perché è minore o uguale al maggiorante \(b\). Vedi se è giusto.
Allo stesso modo provi che nel caso \(L\) infinito un limite che porta \(x(t)\) all'infinito non esiste quindi il limite \(t\rightarrow L\) esiste finito. Siccome \(x(t)\leq b\) per ogni \(t>L\) si ha che \(b\) è un maggiorante, quindi \(x(t)\leq x_{0}\) il minore dei maggioranti, che sappiamo essere finito perché è minore o uguale al maggiorante \(b\). Vedi se è giusto.
Io comunque fatico ancora a vedere la funzione x(t) quindi credo che andrò a ricevimento e proverò a farmela spiegare (se qualcuno riesce a spiegarmela è ben accetto), comunque sia ringrazio molto 4mrkv che è stato molto paziente.
Figurati. Io il primo anno capivo Rolle e Lagrange ma non Cauchy perché non c'era il disegno come con gli altri due. A meno che io non mi sia sbagliato/non sia stato chiaro devi solo fare l'abitudine ai i ragionamenti poco intuitivi.
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