Dimostrazione del teorema di Taylor
Allora ero intento a ripassare la dimostrazione del teorema di Taylor ma mi sono accorto che il mio prof ha dato per scontato una parte, che anche sul libro di riferimento, viene solo enunciata, senza mostrare alcun calcolo.(NOn riscriverò per filo e per segno tutte le ipotesi tanto suppongo sia un argomento ben conosciuto)
Il prof per dimostrare che $AAx \in ]a,b[, f(x)=P_n(x)+o((x-x_0)^n)$
La dimostrazione consiste nel prendere il polinomio di grado $n-1$, calcolarne le derivate fino alla $n-1$-esima e poi applicare de l'Hopital nella forma $[0/0]$ fino ad arrivare a... suppongo che ciò sia noto a tutti (a meno che le dimostrazioni siano più d'una ma ne dubito).
Il mio problema è:
Preso $P_(n-1)(x)= \sum_{k=0}^(n-1) ((f^(k)(x_0)/k!)(x-x_0)^k $
Adesso la derivata di ordine zero in $x_0$ non mi ha dato problemi
$P_(n-1)(x_0)= ((f^(0)(x_0))/(0!))*1=f(x_0) $, perché i termini per $k!=0$ sono nulli
IL prof ha poi detto che per le derivate successive si ottiene
$P'_(n-1)(x_0)=f'(x_0), ...., P^(n-1)(x_0)=f^(n-1)x_0=P^(n-1)(x)-="funzione costante"$, l'equivalenza è ovvia perché stiamo derivando un polinomio di grado $n-1$ esattamente $n-1$ volte
Mi potete spiegare come si arriva a quelle disuguaglianze successive (vi chiedo di postare se possibile, almeno per la derivata prima, i calcoli per intero). Grazie mille a chi risponderà
P.S.Nelle ultime derivate non so come scrivere il grado del polinomio insieme a quella della derivata però il polinomio è sempre quello da cui sono partito, perdonatemi
Il prof per dimostrare che $AAx \in ]a,b[, f(x)=P_n(x)+o((x-x_0)^n)$
La dimostrazione consiste nel prendere il polinomio di grado $n-1$, calcolarne le derivate fino alla $n-1$-esima e poi applicare de l'Hopital nella forma $[0/0]$ fino ad arrivare a... suppongo che ciò sia noto a tutti (a meno che le dimostrazioni siano più d'una ma ne dubito).
Il mio problema è:
Preso $P_(n-1)(x)= \sum_{k=0}^(n-1) ((f^(k)(x_0)/k!)(x-x_0)^k $
Adesso la derivata di ordine zero in $x_0$ non mi ha dato problemi
$P_(n-1)(x_0)= ((f^(0)(x_0))/(0!))*1=f(x_0) $, perché i termini per $k!=0$ sono nulli
IL prof ha poi detto che per le derivate successive si ottiene
$P'_(n-1)(x_0)=f'(x_0), ...., P^(n-1)(x_0)=f^(n-1)x_0=P^(n-1)(x)-="funzione costante"$, l'equivalenza è ovvia perché stiamo derivando un polinomio di grado $n-1$ esattamente $n-1$ volte
Mi potete spiegare come si arriva a quelle disuguaglianze successive (vi chiedo di postare se possibile, almeno per la derivata prima, i calcoli per intero). Grazie mille a chi risponderà
P.S.Nelle ultime derivate non so come scrivere il grado del polinomio insieme a quella della derivata però il polinomio è sempre quello da cui sono partito, perdonatemi
Risposte
EDIT: Ho scritto un sacco di volte \( m \) dove invece volevo scrivere \( n \). Scusa, però purtroppo ora non ho tempo di correggere.
Quello che vuoi dimostrare è che, se \( P_n(x) = \sum_{k = 0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^n \) è il polinomio di Taylor di \( f \) di grado \( n \), allora
\[
\lim_{x\to x_0}{\frac{f(x) - P_n(x)}{(x - x_0)^n}} = 0
\] nel senso che quel limite esiste e vale quell'uguaglianza, e ok. Premetto un lemma, perché semplifica le cose.
Lemma 1. Sia $ n\in \mathbb N $. Se \( h \) è una funzione derivabile \( n \) volte in un intorno di un punto \( x_0\in \mathbb R \) [1], allora si ha
\[
\lim_{x\to 0}{\frac{h(x)}{(x - x_0)^n}} = 0
\] nel senso che esiste suddetto limite e vale suddetta uguaglianza, se e solo se \( h^{(k)}(x_0) = 0 \), per \( 0\leqq k\leqq n \).
Prima di dimostrarlo, nota che se è vero Lemma 1 allora hai vinto: è per costruzione \( f^{(k)}(x_0) = P_n^{(k)}(x_0) \), e la derivata è lineare.
Dimostrazione. Che io sappia (mi sono appena alzato abbi pietà) si fa per induzione su \( n \). Il caso \( m = 1 \) te lo lascio, perché è facile. Supponiamo che quel se e solo se valga per un qualche \( n\in \mathbb N \), e facciamo vedere che vale anche per \( n + 1 \).
Prima implicazione: se
\[
\lim_{x\to x_0}{\frac{h(x)}{(x - x_0)^{n + 1}}} = 0
\] allora è anche
\[
\lim_{x\to x_0}{\frac{h(x)}{(x - x_0)^n}} = 0
\] e quindi per ipotesi induttiva vale \( h^{(k)}(x_0) = 0 \) per ogni \( 0\leqq k\leqq n \). Quindi, rimane da provare che \( h^{(n + 1)}(x_0) = 0 \), e cioè che
\[
\lim_{x\to x_0}{\frac{h^{(m)}(x) - h^{(m)}(x_0)}{(x - x_0)}} = \lim_{x\to x_0}{\frac{h^{(m)}(x)}{(x - x_0)}} = 0
\] (osserva che per ipotesi non c'è da provare l'esistenza di questo limite, ma solo che vale l'ultima uguaglianza: la funzione \( h \) è assunta derivabile \( n + 1 \) volte ed è \( h^{(m)}(x_0) = 0 \) per ipotesi; se non ti è chiaro come si fanno le dimostrazioni per induzione, vai a rompere a chi tiene il corso, perché il compito di spiegartelo è suo). Adesso applico l'Hôpital in modo dissoluto: che sia
\[
\lim_{x\to 0}\frac{h(x)}{(x - x_0)^{n + 1}} = 0
\] lo si sa; d'altronde, il numeratore e il denominatore di quella frazione tendono entrambi a \( 0 \), e sono funzioni derivabili, quindi se esiste il limite
\[
\lim_{x\to 0}\frac{h^{(1)}(x)}{(n + 1)(x - x_0)^n}
\] allora esiste anche il limite precedente e questi coincidono, quindi quest'ultimo limite deve fare \( 0 \). Ma, di nuovo, con le funzioni che compaiono in questo nuovo numeratore e denominatore stiamo dentro le ipotesi di l'Hôpital, e quindi se esiste il limite
\[
\lim_{x\to 0}\frac{h^{(2)}(x)}{n(n + 1)(x - x_0)^{n - 1}}
\] allora è uguale \( 0 \). Andando avanti così, arrivi a dire che se esiste il limite
\[
\lim_{x\to x_0}\frac{h^{(n)}(x_0)}{(n + 1)! (x - x_0)}
\] allora questo è uguale a \( 0 \). Il punto è che questo limite esiste per ipotesi induttiva: è
\[
\lim_{x\to x_0}\frac{h^{(n)}(x_0)}{(n + 1)! (x - x_0)} = \frac{1}{(n + 1)!}\lim_{x\to x_0}\frac{h^{(m)}(x) - h^{(m)}(x_0)}{(x - x_0)} = \frac{h^{(n + 1)}(x_0)}{(n + 1)!}
\] e \( h \) è derivabile esattamente \( n + 1 \) volte.
[1] È un buon esercizio cercare di rendere precisa questa richiesta.
Quello che vuoi dimostrare è che, se \( P_n(x) = \sum_{k = 0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^n \) è il polinomio di Taylor di \( f \) di grado \( n \), allora
\[
\lim_{x\to x_0}{\frac{f(x) - P_n(x)}{(x - x_0)^n}} = 0
\] nel senso che quel limite esiste e vale quell'uguaglianza, e ok. Premetto un lemma, perché semplifica le cose.
Lemma 1. Sia $ n\in \mathbb N $. Se \( h \) è una funzione derivabile \( n \) volte in un intorno di un punto \( x_0\in \mathbb R \) [1], allora si ha
\[
\lim_{x\to 0}{\frac{h(x)}{(x - x_0)^n}} = 0
\] nel senso che esiste suddetto limite e vale suddetta uguaglianza, se e solo se \( h^{(k)}(x_0) = 0 \), per \( 0\leqq k\leqq n \).
Prima di dimostrarlo, nota che se è vero Lemma 1 allora hai vinto: è per costruzione \( f^{(k)}(x_0) = P_n^{(k)}(x_0) \), e la derivata è lineare.
Dimostrazione. Che io sappia (mi sono appena alzato abbi pietà) si fa per induzione su \( n \). Il caso \( m = 1 \) te lo lascio, perché è facile. Supponiamo che quel se e solo se valga per un qualche \( n\in \mathbb N \), e facciamo vedere che vale anche per \( n + 1 \).
Prima implicazione: se
\[
\lim_{x\to x_0}{\frac{h(x)}{(x - x_0)^{n + 1}}} = 0
\] allora è anche
\[
\lim_{x\to x_0}{\frac{h(x)}{(x - x_0)^n}} = 0
\] e quindi per ipotesi induttiva vale \( h^{(k)}(x_0) = 0 \) per ogni \( 0\leqq k\leqq n \). Quindi, rimane da provare che \( h^{(n + 1)}(x_0) = 0 \), e cioè che
\[
\lim_{x\to x_0}{\frac{h^{(m)}(x) - h^{(m)}(x_0)}{(x - x_0)}} = \lim_{x\to x_0}{\frac{h^{(m)}(x)}{(x - x_0)}} = 0
\] (osserva che per ipotesi non c'è da provare l'esistenza di questo limite, ma solo che vale l'ultima uguaglianza: la funzione \( h \) è assunta derivabile \( n + 1 \) volte ed è \( h^{(m)}(x_0) = 0 \) per ipotesi; se non ti è chiaro come si fanno le dimostrazioni per induzione, vai a rompere a chi tiene il corso, perché il compito di spiegartelo è suo). Adesso applico l'Hôpital in modo dissoluto: che sia
\[
\lim_{x\to 0}\frac{h(x)}{(x - x_0)^{n + 1}} = 0
\] lo si sa; d'altronde, il numeratore e il denominatore di quella frazione tendono entrambi a \( 0 \), e sono funzioni derivabili, quindi se esiste il limite
\[
\lim_{x\to 0}\frac{h^{(1)}(x)}{(n + 1)(x - x_0)^n}
\] allora esiste anche il limite precedente e questi coincidono, quindi quest'ultimo limite deve fare \( 0 \). Ma, di nuovo, con le funzioni che compaiono in questo nuovo numeratore e denominatore stiamo dentro le ipotesi di l'Hôpital, e quindi se esiste il limite
\[
\lim_{x\to 0}\frac{h^{(2)}(x)}{n(n + 1)(x - x_0)^{n - 1}}
\] allora è uguale \( 0 \). Andando avanti così, arrivi a dire che se esiste il limite
\[
\lim_{x\to x_0}\frac{h^{(n)}(x_0)}{(n + 1)! (x - x_0)}
\] allora questo è uguale a \( 0 \). Il punto è che questo limite esiste per ipotesi induttiva: è
\[
\lim_{x\to x_0}\frac{h^{(n)}(x_0)}{(n + 1)! (x - x_0)} = \frac{1}{(n + 1)!}\lim_{x\to x_0}\frac{h^{(m)}(x) - h^{(m)}(x_0)}{(x - x_0)} = \frac{h^{(n + 1)}(x_0)}{(n + 1)!}
\] e \( h \) è derivabile esattamente \( n + 1 \) volte.
[1] È un buon esercizio cercare di rendere precisa questa richiesta.
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