Dimostrazione del teorema di Fermat sugli estremi locali
Ciao a tutti!
Il teorema di Fermat afferma che:
dato $x_0 in RR^n$ minimo o massimo locale di $f:RR^n -> RR^m$
sia $f$ derivabile in $x_0$
allora $nabla f(x_0)=0$
Potreste spiegarmi il perchè? qual'è la dimostrazione? Io la conosco ad una variabile, ma non riesco a più variabili a trovare la dimostrazione.
Grazie
Giuggiolo
Il teorema di Fermat afferma che:
dato $x_0 in RR^n$ minimo o massimo locale di $f:RR^n -> RR^m$
sia $f$ derivabile in $x_0$
allora $nabla f(x_0)=0$
Potreste spiegarmi il perchè? qual'è la dimostrazione? Io la conosco ad una variabile, ma non riesco a più variabili a trovare la dimostrazione.
Grazie
Giuggiolo
Risposte
La funzione dovrà essere a valori reali (e non in $RR^m$).
Detto questo, se $x_0$ è, ad esempio, punto di massimo locale per $f$, allora $t=0$ sarà punto di massimo relativo per ciascuna delle restrizioni
$g_i(t) := f(x_0 + t e_i)$, $t\in RR$, $i=1, \ldots, n$.
Quindi, per il teorema di Fermat in una variabile, $g_i'(0) = 0$.
Adesso devi solo calcolare $g_i'(0)$.
Detto questo, se $x_0$ è, ad esempio, punto di massimo locale per $f$, allora $t=0$ sarà punto di massimo relativo per ciascuna delle restrizioni
$g_i(t) := f(x_0 + t e_i)$, $t\in RR$, $i=1, \ldots, n$.
Quindi, per il teorema di Fermat in una variabile, $g_i'(0) = 0$.
Adesso devi solo calcolare $g_i'(0)$.
Si, si ottiene $nabla f(x_0)=0$
Grazie per la pronta risposta!
Giuggiolo
Grazie per la pronta risposta!
Giuggiolo
Osservo che, rispetto al teorema solito, è stata omessa la condizione che il punto $x_0$ sia interno al dominio della funzione. Penso sia solo "rimasto nella tastiera", ma meglio precisare.
Certo, il punto deve essere interno al dominio (come per il caso unidimensionale, del resto), ma l'OP parlava di una funzione definita su tutto $RR^n$
(sempreché non intendesse una funzione con dominio contenuto in $RR^n$).
(sempreché non intendesse una funzione con dominio contenuto in $RR^n$).
Ma che è OP?
Probabilmente hai ragione tu, ma il fatto che si parlasse di una funzione a valori in $RR^m$ mi ha messo sull'allerta. Se era (giustamente) sottinteso, sono più contento!
Probabilmente hai ragione tu, ma il fatto che si parlasse di una funzione a valori in $RR^m$ mi ha messo sull'allerta. Se era (giustamente) sottinteso, sono più contento!
Riporto da wikipedia:
"OP, short for original post or original poster. Used on online message boards and forums to denote the first post (or posting) on a topic often containing the original question or topic of discussion."
@giuggiolo:
Riguardo l'osservazione di Fioravante, se la funzione è definita su un sottoinsieme $\Omega\subset RR^n$ e non su tutto $RR^n$, allora in generale le restrizioni $g_i$ indicate inizialmente non sono definite su tutto $RR$.
Se però $x_0$ è un punto interno a $\Omega$, allora esiste $r>0$ tale che $B_r(x_0)\subset\Omega$; di conseguenza, le restrizioni $g_i$ sono definite (almeno) nell'intervallo aperto $(-r,r)$ contenente l'origine, e questo basta per concludere che $g'_i(0) = 0$ per ogni $i=1,\ldots,n$.
"OP, short for original post or original poster. Used on online message boards and forums to denote the first post (or posting) on a topic often containing the original question or topic of discussion."
@giuggiolo:
Riguardo l'osservazione di Fioravante, se la funzione è definita su un sottoinsieme $\Omega\subset RR^n$ e non su tutto $RR^n$, allora in generale le restrizioni $g_i$ indicate inizialmente non sono definite su tutto $RR$.
Se però $x_0$ è un punto interno a $\Omega$, allora esiste $r>0$ tale che $B_r(x_0)\subset\Omega$; di conseguenza, le restrizioni $g_i$ sono definite (almeno) nell'intervallo aperto $(-r,r)$ contenente l'origine, e questo basta per concludere che $g'_i(0) = 0$ per ogni $i=1,\ldots,n$.
si, avevo sottointeso che $x_0$ fosse compreso nel dominio di $f$!
anche l'$RR^m$ è stata una svista!
anche l'$RR^m$ è stata una svista!
"giuggiolo":Ehm, sono pignolo (ovvio, essendo un matematico).
si, avevo sottointeso che $x_0$ fosse compreso nel dominio di $f$!
Attenzione. Tu dici: $x_0$ sia compreso nel dominio di $f$.
Io interpreto quello che dici (mi riferisco in particolare al verbo "compreso"), come se tu intendessi che "$x_0$ appartiene al dominio di $f$". E questa è la interpretazione normale della tua frase.
Questo non è sufficiente, perché non è detto che abbia senso parlare di gradiente in $x_0$. Occorre appunto l'ipotesi che $x_0$ sia interno.
Come esempio, immagina di avere una funzione il cui dominio sia la porzione del primo quadrante compresa fra $y=x$ ed $y=2x$ (le due semirette incluse). L'origine appartiene al dominio della funzione, ma è privo di senso parlare di derivaste parziali (e quindi di gradiente) nell'origine.
@Fioravante Patrone: secondo me è inutile specificare che $f$ sia derivabile in $x_0$ in quanto viene dato come ipotesi iniziale del teorema...o sbaglio?
"giuggiolo":Sinceramente non mi è chiara la tua domanda/affermazione.
@Fioravante Patrone: secondo me è inutile specificare che $f$ sia derivabile in $x_0$ in quanto viene dato come ipotesi iniziale del teorema...o sbaglio?
tu precedentemente hai detto che, per essere pignoli, bisogna specificare che in $x_0$ esista $nabla f(x_0)$ e cioè che $f$ sia derivabile in $x_0$...
ma in realtà $f$ è derivabile in $x_0$ per ipotesi (edit: era "definizione"), quindi secondo me non è necessario specificarlo.
ma in realtà $f$ è derivabile in $x_0$ per ipotesi (edit: era "definizione"), quindi secondo me non è necessario specificarlo.
"giuggiolo":
tu precedentemente hai detto che, per essere pignoli, bisogna specificare che in $x_0$ esista $nabla f(x_0)$ e cioè che $f$ sia derivabile in $x_0$...
ma in realtà $f$ è derivabile in $x_0$ per ipotesi (edit: era "definizione"), quindi secondo me non è necessario specificarlo.
Certo che se assumi che $f$ sia derivabile in $x_0$ non è il caso di ripeterlo.
Il mio intervento originario si riferiva al caso più generale di quello che avevi posto tu ($f:RR^n \to RR$), ovvero quando $f:A \to RR$, essendo $A \sube RR^n$.
In tal caso, occorre assumere, prima ancora di richiedere che $f$ sia parzialmente derivabile in $x_0$, che abbia senso parlare di derivate parziali. Una condizione sufficiente a questo fine è che $x_0$ sia interno ad $A$ (se questa condizione è violata, come succede nell'esempio che avevo fatto, non è detto che abbia senso parlare di gradiente in $x_0$).
Poi sono ri-intervenuto perché tu hai usato la parole "compreso" che normalmente è usata per indicare l'apparteneza di un punto ad un insieme, non per dire che è interno.
@giuggiulo:
A prescindere dalla possibilità o meno di definire il gradiente in punti di frontiera, nelle ipotesi del teorema di Fermat occorre richiedere che $x_0$ sia un punto di estremo interno.
In altre parole, la funzione può anche essere definita e differenziabile su tutto $RR^n$; tuttavia, se $x_0\in A$ è un punto di estremo locale per la restrizione di $f$ ad un certo sottoinsieme $A$ di $RR^n$, si può concludere che $\nabla f(x_0) = 0$ solo quando $x_0$ è un punto interno di $A$ (che, come ha già sottolineato Fioravante, non significa che $x_0\in A$, ma che esiste un intorno $B_r(x_0)$ tutto contenuto in $A$).
Facciamo un esempio per chiarire la questione.
Sia $f(x,y) = x+y$, che è differenziabile in tutto $RR^2$.
Sia $A = [0,1]\times [0,1]$. In tale insieme il punto $x_0 = (0,0)$ è di minimo assoluto (e quindi anche relativo) per $f$, ma $\nabla f(0,0) = (1,1)$.
A prescindere dalla possibilità o meno di definire il gradiente in punti di frontiera, nelle ipotesi del teorema di Fermat occorre richiedere che $x_0$ sia un punto di estremo interno.
In altre parole, la funzione può anche essere definita e differenziabile su tutto $RR^n$; tuttavia, se $x_0\in A$ è un punto di estremo locale per la restrizione di $f$ ad un certo sottoinsieme $A$ di $RR^n$, si può concludere che $\nabla f(x_0) = 0$ solo quando $x_0$ è un punto interno di $A$ (che, come ha già sottolineato Fioravante, non significa che $x_0\in A$, ma che esiste un intorno $B_r(x_0)$ tutto contenuto in $A$).
Facciamo un esempio per chiarire la questione.
Sia $f(x,y) = x+y$, che è differenziabile in tutto $RR^2$.
Sia $A = [0,1]\times [0,1]$. In tale insieme il punto $x_0 = (0,0)$ è di minimo assoluto (e quindi anche relativo) per $f$, ma $\nabla f(0,0) = (1,1)$.
ma in questo caso $x_0$ non siamo sicuri che soddisfa l'ipotesi che $f$ sia derivabile in $x_0$, e quindi, come hai verificato tu, $nabla f(x_0)$ è diverso da 0..
quello che dico io (e che è quello che ho capito dalla condizione di derivabilità in $x_0$) è che il teorema è applicabile in $x_0$ solo se si sa già a priori che in quel punto $f$ è derivabile.
quello che dico io (e che è quello che ho capito dalla condizione di derivabilità in $x_0$) è che il teorema è applicabile in $x_0$ solo se si sa già a priori che in quel punto $f$ è derivabile.
Nell'esempio che ti ho riportato $f$ è derivabile in tutto $RR^2$; più sicuri di così...
Quello che volevo sottolineare è che, soprattutto negli esercizi, uno parte da funzioni che magari sono definite e derivabili su tutto $RR^2$, e poi considera problemi di estremo su qualche sottoinsieme $A\subset RR^2$. La derivabilità quindi è garantita, ma il teorema lo puoi applicare solo nei punti di estremo relativo interni ad $A$.
Quello che volevo sottolineare è che, soprattutto negli esercizi, uno parte da funzioni che magari sono definite e derivabili su tutto $RR^2$, e poi considera problemi di estremo su qualche sottoinsieme $A\subset RR^2$. La derivabilità quindi è garantita, ma il teorema lo puoi applicare solo nei punti di estremo relativo interni ad $A$.
infatti, forse mi sono espresso male, ma volevo dire che $x_0$, secondo la restrizione $A$, è uno dei vertici dell'insieme (passatemi l'espressione) e quindi $f$ non è derivabile (con sicurezza) in $x_0$ se la si restringe ad $A$.
forse stiamo dicendo la stessa cosa, o forse ho capito male io!
forse stiamo dicendo la stessa cosa, o forse ho capito male io!
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