Dimostrazione del teorema di Bolzano-Weierstrass
Sia $K$ un sottoinsieme compatto di $RR^n$, e sia $x_1,x_2,x_3...$ una successione di elementi di $K$.
Allora esistono $k_1
$lim_(n->oo) hat x_n=hat x$
questo teorema (che sulle mie dispense non ha nome) è il teorema di Bolzano-Weierstrass? grazie per le risposte
Allora esistono $k_1
$lim_(n->oo) hat x_n=hat x$
questo teorema (che sulle mie dispense non ha nome) è il teorema di Bolzano-Weierstrass? grazie per le risposte
Risposte
ciao da quello che mi ricordo il teorema di Bolzano-Weierstrass dice che ogni successione limitata ha almeno un valore di aderenza, cioè che la successione data ha almeno una sottosuccessione che converge. quindi direi che la risposta è si, anche se manca l'ipotesi che la successione sia limitata.
Se fosse [tex]$\hat x$[/tex] un punto di accumulazione per [tex]$K$[/tex] sì, lo sarebbe!
ok grazie mille per le risposte 
"j18eos":Ma comunque c'è scritto $hat{x}\in K$, il che mi pare una ipotesi sufficiente; tieni conto che una successione può anche non convergere ad un punto di accumulazione: esempio $(2, 2, 2, ...)$ vista come successione in $K=[0, 1]uu{2}$: converge ad un elemento di $K$ ma non ad un proprio punto di accumulazione.
Se fosse [tex]$\hat x$[/tex] un punto di accumulazione per [tex]$K$[/tex] sì, lo sarebbe!
"Akuma":Questo è automatico, dal momento che $K$ è compatto e quindi limitato.
manca l'ipotesi che la successione sia limitata
Ho utilizzato la proprietà che ogni sottoinsieme infinito di un compatto ammette almeno un punto di accumulazione, ovvero ha derivato non vuoto! Non ricordando esattamente (come mio solito) quale teorema sui compatti lo si chiami così sono andato sul sicuro. Tutto qui. 
Si j18eos, però attenzione perché Blackorgasm non ha scritto nelle ipotesi che i termini della successione sono tutti distinti. Quindi l'insieme ${x_1, x_2, x_3...}$ potrebbe non essere infinito: è il caso di una successione costante o definitivamente costante. In questo caso potrebbero non esserci punti di accumulazione, quindi io non li tirerei in ballo perché non li trovo necessari.
Chiaramente se tu vuoi fare un discorso topologico (la proprietà che citi mi pare si chiami numerabile compattezza o compattezza per punti di accumulazione) allora le cose cambiano ma credo che Blackorgasm sia uno studente di ingegneria, quindi non è questo che gli serve.
Chiaramente se tu vuoi fare un discorso topologico (la proprietà che citi mi pare si chiami numerabile compattezza o compattezza per punti di accumulazione) allora le cose cambiano ma credo che Blackorgasm sia uno studente di ingegneria, quindi non è questo che gli serve.
"dissonance":Ecco il mio errore, penso che d'ora in poi mi sarà più facile associare il nome al teorema.
Si j18eos, però attenzione perché Blackorgasm non ha scritto nelle ipotesi che i termini della successione sono tutti distinti. Quindi l'insieme ${x_1, x_2, x_3...}$ potrebbe non essere infinito: è il caso di una successione costante o definitivamente costante. In questo caso potrebbero non esserci punti di accumulazione, quindi io non li tirerei in ballo perché non li trovo necessari...
"dissonance":Queste mi giungono nuove ma possono essere utili!
...Chiaramente se tu vuoi fare un discorso topologico (la proprietà che citi mi pare si chiami numerabile compattezza o compattezza per punti di accumulazione)...
Grazie dissonance!
"dissonance":
credo che Blackorgasm sia uno studente di ingegneria
esatto
riapro il post, modificando il titolo e tentando di dimostrare il teorema:
Sia ${x_1,x_2,x_3,...}$ una successione di elementi di $K sub RR^n$ compatto.
Supponiamo l'insieme infinito. Siccome $K$ è un compatto, e quindi è anche un chiuso, la successione converge ad un elemento in $K$, o meglio si ha $lim_(gamma -> oo) x_gamma in K$.
Allora $EE hat x in K: AA I(hat x, r)$ possiede infiniti elementi della successione.
Allora $EE k_1 in NN: x_k_1 in I(hat x, 1)$ ; $EE k_2>k_1 in NN: x_k_2 in I(hat x, 1/2)$ ; $EE k_3>k_2>k_1 in NN: x_k_3 in I(hat x, 1/3)$ etc.
Ovviamente, ponendo $hat x_beta=x_k_beta$, si ha $lim_(beta -> oo) hat x_beta = hat x$ da cui la tesi
è passabile? ho tentato di seguire le mie dispense (che lasciano gran parte della dimostrazione al lettore). Altra cosa: perchè se l'insieme ${x_1,x_2,x_3,...}$ è finito, l'asserto è banale? grazie in anticipo
Sia ${x_1,x_2,x_3,...}$ una successione di elementi di $K sub RR^n$ compatto.
Supponiamo l'insieme infinito. Siccome $K$ è un compatto, e quindi è anche un chiuso, la successione converge ad un elemento in $K$, o meglio si ha $lim_(gamma -> oo) x_gamma in K$.
Allora $EE hat x in K: AA I(hat x, r)$ possiede infiniti elementi della successione.
Allora $EE k_1 in NN: x_k_1 in I(hat x, 1)$ ; $EE k_2>k_1 in NN: x_k_2 in I(hat x, 1/2)$ ; $EE k_3>k_2>k_1 in NN: x_k_3 in I(hat x, 1/3)$ etc.
Ovviamente, ponendo $hat x_beta=x_k_beta$, si ha $lim_(beta -> oo) hat x_beta = hat x$ da cui la tesi
è passabile? ho tentato di seguire le mie dispense (che lasciano gran parte della dimostrazione al lettore). Altra cosa: perchè se l'insieme ${x_1,x_2,x_3,...}$ è finito, l'asserto è banale? grazie in anticipo
Up!
"Blackorgasm":Ma quando mai!
...Sia ${x_1,x_2,x_3,...}$ una successione di elementi di $K sub RR^n$ compatto.
Supponiamo l'insieme infinito. Siccome $K$ è un compatto, e quindi è anche un chiuso, la successione converge ad un elemento in $K$, o meglio si ha $lim_(gamma -> oo) x_gamma in K$...
Considera nel quadrato [tex]$Q=[-1;1]\times[-1;1]\subset\mathbb{R}^2$[/tex] la successione [tex]$\bigg\{\bigg(\frac{(-1)^n}{n};\cos(n\pi)\bigg)\in Q\bigg\}_{n\in\mathbb{N}}$[/tex].
L'enunziato del teorema di Bolzano-Weierstrass è il segunte:
Per ogni successione in un insieme compatto [tex]$K\subset\mathbb{R}^n$[/tex] esiste una successione estratta convergente ad un punto di [tex]$K$[/tex].
Detto ciò:
"Blackorgasm":ti sai rispondere da solo a questa domanda?
...perchè se l'insieme ${x_1,x_2,x_3,...}$ è finito, l'asserto è banale?...
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