Dimostrazione del teorema di Abel per le serie di potenze
Salve a tutti,
volevo chiedervi una mano con la dimostrazione del seguente teorema.
Sia data la serie di potenze $sum_{n=0}^{+oo}a_n(x-x_0)^n$ con raggio di convergenza $0
I due enunciati si dimostrano in maniera analoga. Sul mio testo di riferimento c'è scritto che non è restrittivo dimostrare il tutto per $rho=1$ e $x_0=0$. Una volta fatto ciò baserà porre $t=(x-x_0)/rho$ per ottenere il caso generale (Perchè???).
L'intervallo di convergenza è ]-1,1[ e dato che la serie data converge in x=1 allora è verificata la condizione di Cauchy:
$AAepsilon>0 EEnu in NN:AAn>nu, AAk in NN rArr |sum_{j=n}^{n+k-1}a_j|
Proviamo quindi la tesi verificando la convergenza uniforme.
Ecco cosa trovo sul mio libro:
$|sum_{j=n}^{n+k-1}a_jx^j|=|a_n(x^n-x^(n+1))+(a_n+a_(n+1))(x^(n+1)-x^(n+2))+(a_n+a_(n+1)+a_(n+2))(x^(n+2)-x^(n+3))|+$
$+...+(a_n+a_(n+1)+a_(n+2)+....+a_(n+k-1))x^(n+k-1)$
...
Ma essendo $|sum_{j=n}^{n+k-1}a_jx^j|=|a_nx^n+a_(n+1)x^(n+1)+...+a_(n+k-1)x^(n+k-1)|$ come faccio a ottenere la quantità di cui sopra?
volevo chiedervi una mano con la dimostrazione del seguente teorema.
Sia data la serie di potenze $sum_{n=0}^{+oo}a_n(x-x_0)^n$ con raggio di convergenza $0
I due enunciati si dimostrano in maniera analoga. Sul mio testo di riferimento c'è scritto che non è restrittivo dimostrare il tutto per $rho=1$ e $x_0=0$. Una volta fatto ciò baserà porre $t=(x-x_0)/rho$ per ottenere il caso generale (Perchè???).
L'intervallo di convergenza è ]-1,1[ e dato che la serie data converge in x=1 allora è verificata la condizione di Cauchy:
$AAepsilon>0 EEnu in NN:AAn>nu, AAk in NN rArr |sum_{j=n}^{n+k-1}a_j|
Proviamo quindi la tesi verificando la convergenza uniforme.
Ecco cosa trovo sul mio libro:
$|sum_{j=n}^{n+k-1}a_jx^j|=|a_n(x^n-x^(n+1))+(a_n+a_(n+1))(x^(n+1)-x^(n+2))+(a_n+a_(n+1)+a_(n+2))(x^(n+2)-x^(n+3))|+$
$+...+(a_n+a_(n+1)+a_(n+2)+....+a_(n+k-1))x^(n+k-1)$
...
Ma essendo $|sum_{j=n}^{n+k-1}a_jx^j|=|a_nx^n+a_(n+1)x^(n+1)+...+a_(n+k-1)x^(n+k-1)|$ come faccio a ottenere la quantità di cui sopra?
Risposte
Il fatto che non sia restrittivo considerare $\rho=1$ e $x_{0}=0$ è vero perchè trasli il centro della serie di potenze ed effettui una dilatazione di fattore $\frac(1)(\rho)$.
Per il resto mi sembra abbastanza confusionaria la dimostrazione. Peccato che ora stia uscendo, tornerò a casa verso le 20.00, sperando di ricordarmi ti scrivo la dimostrazione nel caso generale dei numeri complessi, molto meno complicata dal punto di vista dei conti.
Per il resto mi sembra abbastanza confusionaria la dimostrazione. Peccato che ora stia uscendo, tornerò a casa verso le 20.00, sperando di ricordarmi ti scrivo la dimostrazione nel caso generale dei numeri complessi, molto meno complicata dal punto di vista dei conti.
up
Buongiorno ;
Prendo le ipotesi seguenti :
(a) : Il raggio di convergenza della serie $ sum_(n=0)^(+infty) a_n x^n $ è $ R = 1 $
(b) : la serie $ sum_(n=0)^(+infty) a_n $ è convergente
(c) : $ 0 < r < 1 $
Voglio dimostrare la convergenza uniforme della serie $ sum_(n=0)^(+infty) a_n x^n $
sull'intervallo $ [ - r ; 1 ] $ .
Per ogni $ k in NN $ pongo $ B_k = sum_(n = k)^(+infty) a_n $.
Cosi , se $ 0<=x<=1 $ e $ p< q $ con $ p,q in NN $ allora
$ sum_(k=p)^q a_k x^k = sum_(k=p)^q ( B_k-B_(k+1) )x^k $
$ = B_p x^p + sum_(k=p+1)^q B_k ( x^k- x^(k-1) ) - B_(q+1) x^q $
Ne deduco
$ | sum_(k=p)^q a_k x^k| <= | B_p x^p | + sum_(k=p+1)^q | B_k| ( x^(k-1)- x^k ) + | B_(q+1) x^q | $
Ma $ lim_(k->+infty ) B_k = 0 $ dunque per ogni $ \epsilon > 0 $ esiste $ N in NN $ tale che se $ k >= N $
allora $ | B_k | <= \epsilon $ .
Se $ p >= N $ allora ho
$ | sum_(k=p)^q a_k x^k| <= \ epsilon x^p + \epsilon sum_(k=p+1)^q ( x^(k-1)- x^k ) + \epsilon x^q $
poi $ | sum_(k=p)^q a_k x^k| <= \ epsilon x^p + \epsilon ( x^p - x^q ) + \epsilon x^q $
e $ | sum_(k=p)^q a_k x^k| <= 2 \ epsilon x^p $
Finalmente $ | sum_(k=p)^q a_k x^k| <= 2 \ epsilon $
Ottengo una convergenza normale della serie $ sum_(n=0)^(+infty) a_n x^n $ sull'intervallo $ [ 0 ; 1 ] $ .
Ma, con $ 0 < r < 1 $ , c'è , anzi , una convergenza normale della serie $ sum_(n=0)^(+infty) a_n x^n $ sull'intervallo $ [ - r ; 0 ] $ .
La convergenza della serie è normale dunque uniforme sull'intervallo $ [ - r ; 1 ] $ .
Spero che l'esplicazione sia chiara .
Scuse per un'italiano approssimativo .
Prendo le ipotesi seguenti :
(a) : Il raggio di convergenza della serie $ sum_(n=0)^(+infty) a_n x^n $ è $ R = 1 $
(b) : la serie $ sum_(n=0)^(+infty) a_n $ è convergente
(c) : $ 0 < r < 1 $
Voglio dimostrare la convergenza uniforme della serie $ sum_(n=0)^(+infty) a_n x^n $
sull'intervallo $ [ - r ; 1 ] $ .
Per ogni $ k in NN $ pongo $ B_k = sum_(n = k)^(+infty) a_n $.
Cosi , se $ 0<=x<=1 $ e $ p< q $ con $ p,q in NN $ allora
$ sum_(k=p)^q a_k x^k = sum_(k=p)^q ( B_k-B_(k+1) )x^k $
$ = B_p x^p + sum_(k=p+1)^q B_k ( x^k- x^(k-1) ) - B_(q+1) x^q $
Ne deduco
$ | sum_(k=p)^q a_k x^k| <= | B_p x^p | + sum_(k=p+1)^q | B_k| ( x^(k-1)- x^k ) + | B_(q+1) x^q | $
Ma $ lim_(k->+infty ) B_k = 0 $ dunque per ogni $ \epsilon > 0 $ esiste $ N in NN $ tale che se $ k >= N $
allora $ | B_k | <= \epsilon $ .
Se $ p >= N $ allora ho
$ | sum_(k=p)^q a_k x^k| <= \ epsilon x^p + \epsilon sum_(k=p+1)^q ( x^(k-1)- x^k ) + \epsilon x^q $
poi $ | sum_(k=p)^q a_k x^k| <= \ epsilon x^p + \epsilon ( x^p - x^q ) + \epsilon x^q $
e $ | sum_(k=p)^q a_k x^k| <= 2 \ epsilon x^p $
Finalmente $ | sum_(k=p)^q a_k x^k| <= 2 \ epsilon $
Ottengo una convergenza normale della serie $ sum_(n=0)^(+infty) a_n x^n $ sull'intervallo $ [ 0 ; 1 ] $ .
Ma, con $ 0 < r < 1 $ , c'è , anzi , una convergenza normale della serie $ sum_(n=0)^(+infty) a_n x^n $ sull'intervallo $ [ - r ; 0 ] $ .
La convergenza della serie è normale dunque uniforme sull'intervallo $ [ - r ; 1 ] $ .
Spero che l'esplicazione sia chiara .
Scuse per un'italiano approssimativo .
merci mille fois
"Sirio1988":
:D merci mille fois
Di niente ; è un piacere .
( De rien , c'est un plaisir )
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