Dimostrazione del resto di Peano e di Lagrange
non mi è chiarissimo qualche passaggio che svolge il mio testo di analisi I per dimostrare il resto di Peano e di Lagrange.
Resto di Peano
sia $P_n(x-x_o)$ il polinomio di Taylor di grado $n$ in $(x-x_o)$.
si vuole studiare il limite: $lim_(xtox_o)(f(x)-P_(n)(x-x_o))/(x-x_o)^(n+1)$ che è della forma $0/0$.
Applichiamo $n$ volte il Teorema di De L'Hopital e si arriva a: $lim_(xtox_o)(f^((n))(x)-f^((n))(x_o))/((x-x_o)*(n+1)!)$ e qui ho il primo dubbio: Il denominatore mi torna ma non capisco come mai la derivata n-esima di $P_n(x-x_o)$ sia $f^((n))(x_o)$. Successivamente il testo afferma che, nell'ipotesi esista la derivata $(n+1)$ - esima in $x_o$, il valore del limite è $(f^((n+1))(x_o))/((n+1)!)$, e qui non capisco se ha applicato ancora De L'Hopital o altro, visto che il limite precedente mi pare ancora della forma $0/0$. Poi da qui in poi non ci sono problemi.
Resto di Lagrange
si studia il rapporto $(f(x)-P_(n)(x-x_o))/(x-x_o)^(n+1)$ e si applica a cascata, $(n+1)$ volte il teorema di cauchy, si ottengono le uguaglianze: $(f(x)-P_(n)(x-x_o))/(x-x_o)^(n+1)$ = $(f'(x_1)-P'_(n)(x_1))/((n+1)(x-x_o)^(n-1)) = (f''(x_2)'-P''_(n)(x_2))/((n+1)n(x-x_o)^(n-1)) = ... = (f^((n))(x_n)-P_(n)^((n))(x_n))/((n+1)!(x-x_o)^(n-1)) = (f^((n+1))(x_(n+1)))/(n!)$ dove l'ultimo passaggio dipende dal fatto che le derivate di un polinomio di ordine superiore al grado sono nulle. A me qui non è molto chiara l'applicazione di cauchy per ricavare le uguaglianze precedenti. come si mettono in relazione con il teorema? grazie per l'aiuto
Resto di Peano
sia $P_n(x-x_o)$ il polinomio di Taylor di grado $n$ in $(x-x_o)$.
si vuole studiare il limite: $lim_(xtox_o)(f(x)-P_(n)(x-x_o))/(x-x_o)^(n+1)$ che è della forma $0/0$.
Applichiamo $n$ volte il Teorema di De L'Hopital e si arriva a: $lim_(xtox_o)(f^((n))(x)-f^((n))(x_o))/((x-x_o)*(n+1)!)$ e qui ho il primo dubbio: Il denominatore mi torna ma non capisco come mai la derivata n-esima di $P_n(x-x_o)$ sia $f^((n))(x_o)$. Successivamente il testo afferma che, nell'ipotesi esista la derivata $(n+1)$ - esima in $x_o$, il valore del limite è $(f^((n+1))(x_o))/((n+1)!)$, e qui non capisco se ha applicato ancora De L'Hopital o altro, visto che il limite precedente mi pare ancora della forma $0/0$. Poi da qui in poi non ci sono problemi.
Resto di Lagrange
si studia il rapporto $(f(x)-P_(n)(x-x_o))/(x-x_o)^(n+1)$ e si applica a cascata, $(n+1)$ volte il teorema di cauchy, si ottengono le uguaglianze: $(f(x)-P_(n)(x-x_o))/(x-x_o)^(n+1)$ = $(f'(x_1)-P'_(n)(x_1))/((n+1)(x-x_o)^(n-1)) = (f''(x_2)'-P''_(n)(x_2))/((n+1)n(x-x_o)^(n-1)) = ... = (f^((n))(x_n)-P_(n)^((n))(x_n))/((n+1)!(x-x_o)^(n-1)) = (f^((n+1))(x_(n+1)))/(n!)$ dove l'ultimo passaggio dipende dal fatto che le derivate di un polinomio di ordine superiore al grado sono nulle. A me qui non è molto chiara l'applicazione di cauchy per ricavare le uguaglianze precedenti. come si mettono in relazione con il teorema? grazie per l'aiuto
Risposte
"Covenant":
Resto di Peano
[...] $lim_(xtox_o)(f^((n))(x)-f^((n))(x_o))/((x-x_o)*(n+1)!)$ e qui ho il primo dubbio: Il denominatore mi torna ma non capisco come mai la derivata n-esima di $P_n(x-x_o)$ sia $f^((n))(x_o)$.[...]
Discende dal fatto che la derivata $n$-esima di un polinomio di grado $n$ è proporzionale al coefficiente del monomio di grado $n$ e dalla definizione di polinomio di Taylor.
"Covenant":
Successivamente il testo afferma che, nell'ipotesi esista la derivata $(n+1)$ - esima in $x_o$, il valore del limite è $(f^((n+1))(x_o))/((n+1)!)$, e qui non capisco se ha applicato ancora De L'Hopital o altro, visto che il limite precedente mi pare ancora della forma $0/0$.[...]
Applica "altro", ovvero la definizione di derivata $(n+1)$-esima come limite del rapporto incrementale della derivata $n$-esima.
"Covenant":
Resto di Lagrange
si applica [...] il teorema di Cauchy , si ottengono le uguaglianze: $(f(x)-P_(n)(x-x_o))/(x-x_o)^(n+1)$ = $(f'(x_1)-P'_(n)(x_1))/((n+1)(x-x_o)^(n-1)) = (f''(x_2)'-P''_(n)(x_2))/((n+1)n(x-x_o)^(n-1)) = ... = (f^((n))(x_n)-P_(n)^((n))(x_n))/((n+1)!(x-x_o)^(n-1)) = (f^((n+1))(x_(n+1)))/(n!)$[...]
A me qui non è molto chiara l'applicazione di cauchy per ricavare le uguaglianze precedenti. come si mettono in relazione con il teorema? grazie per l'aiuto
L'applicazione di Cauchy è un fatto tecnico. L'importante è capire che la catena di uguaglianze ti permette di concludere.
Infatti, guarda solo il primo e l'ultimo membro della catena; fai il m.c.m. isola $f(x)$ a sinistra: praticamente ottieni la tesi del teorema.
grazie dell'aiuto 
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