Dimostrazione del limite del prodotto di funzioni

[klarence1]

Vorrei dimostrare che il limite del prodotto di funzioni è uguale al prodotto dei limiti. Per caso qualcuno conosce un sito (o è così gentile da dimostrarmelo qui) che fa al caso mio?

[pic2]

Se fosse vero si potrebbe anche dimostrare! La cosa che dici tu vale solo per limiti finiti, se entra l'infinito di mezzo ci sono un po' di complicazioni (i.e. non c'è alcuna regola generale se non $infty \cdot \infty= \infty$)

[pic2]

Comunque cerco di rendermi utile. Supponiamo le due funzioni tendano a un numero positivo (sennò posso cambiare il segno; ho escluso che una vada a 0 per ovvii motivi....). Allora per ogni $\epsilon$ riesco a buttare $f$ in $[l_1 - \epsilon, l_1+ \epsilon]$ e $g$ in $[l_2 - \epsilon, l_2+ \epsilon]$, che sono intervalli compresi in $[0,+\infty[$, allora ho buttato $fg$ in $[l_1l_2 - \epsilon(l_1+l_2) + \epsilon^2, l_1l_2 +\epsilon(l_1+l_2) + \epsilon^2]$; questo intervallo ha ampiezza $2\epsilon (l_1+l_2)$, che dunque posso far decrescere a piacere

[fu^2]

si, oppure puoi farlo in questo modo che mi è venuto in mente ora, controlla tutti i passaggi : se $f(x)->f$ e $g(x)->g$ allora definitivamente $|f(x)-f| consideriamo quindi la seguente espressione: $|f(x)*g(x)-f*g|<=|(f(x)-f)(g(x)+g)|$*$<=|(f(x)-f)|*|(g(x)+g)|<=|(f(x)-f)|*|(g(x)-g+g+g)|<=|(f(x)-f)|*(|(g(x)-g|+|g+g|)|)
$<=epsilon_1(epsilon_2+2|g|)=epsilon_1epsilon_2+2epsilon_1|g|<=epsilon_1(1+2|g|)$ per l'albitrarietà di $epsilon_1$ segue la tesi.






*$|(f(x)-f)(g(x)+g)|=|f(x)g(x)-fg-fg(x)+gf(x)|$
dico che $-fg(x)+gf(x)->0$ infatti $fg-fg(x)-fg+gf(x)=f(g-g(x))+g(f(x)-f)<=|f(g(x)-g)|+|g(f(x)-f)|=|f|*|(g(x)-g)|+|g|*|(f(x)-f)|<=|f|*epsilon_2+|g|*epsilon_1
quindi a meno di infinitesimi questo passaggio è lecito

[fu^2]

"pic":Comunque cerco di rendermi utile. Supponiamo le due funzioni tendano a un numero positivo (sennò posso cambiare il segno; ho escluso che una vada a 0 per ovvii motivi....). Allora per ogni $\epsilon$ riesco a buttare $f$ in $[l_1 - \epsilon, l_1+ \epsilon]$ e $g$ in $[l_2 - \epsilon, l_2+ \epsilon]$, che sono intervalli compresi in $[0,+\infty[$, allora ho buttato $fg$ in $[l_1l_2 - \epsilon(l_1+l_2) + \epsilon^2, l_1l_2 +\epsilon(l_1+l_2) + \epsilon^2]$; questo intervallo ha ampiezza $2\epsilon (l_1+l_2)$, che dunque posso far decrescere a piacere

tu dici che fg finiscono nell'intervallo che è esattamente il prodotto dei due intervalli... a priori fg potrebbero convergere a $l_3$ e l'intorno $(l_3-epsilon,l_3+epsilon)$a priori potrebbe non coincidere con l'intorno di $l_1l_2$ da te descritto.




Mi pare che la tua dimostrazione sia una riscrittura della tesi, cioè te dai per scontato che f*g converga nell'intorno di $l_1l_2$ in quanto per ottenerlo hai moltiplicato i due intorni, insomma è quello che devi dimostrare... oppure è sera e sono completamente bollito?

[gugo82]

Questa, per valori finiti dei due limiti, è una dimostrazione $epsilon-delta$ standard presente su ogni testo di Analisi I degno di tal nome.

Detto $x_0$ il p.d.a. ove si stanno calcolando i limiti e detti $lambda, Lambda$ i limiti in tal punto di $f,g$ rispettivamente, si ha:

$|f(x)g(x)-lambda*Lambda|=|[f(x)-lambda]*g(x)+lambda*[g(x)-Lambda]|le |f(x)-lambda|*|g(x)|+|lambda|*|g(x)-Lambda|$

da cui si conclude banalmente ricordando le definizioni di limite per $f,g$ e l'implicazione $g " convergente in " x_0 quad => quad g " limitata intorno ad " x_0$.

[pic2]

"fu^2":
Mi pare che la tua dimostrazione sia una riscrittura della tesi, cioè te dai per scontato che f*g converga nell'intorno di $l_1l_2$ in quanto per ottenerlo hai moltiplicato i due intorni, insomma è quello che devi dimostrare... oppure è sera e sono completamente bollito?

Se $0

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