Dimostrazione del lemma di Riemann-Lebesgue
Il lemma di Riemann-Lebesgue dice che la trasformata di Fourier o di Laplace di una funzione sommabile tende a zero all'infinito.
Di dimostrazioni, su internet, ne ho trovate poche, e sono troppo avanzate per il mio livello di conoscenze.
Qui: http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann–Lebesgue_lemma
la dimostrazione viene divisa in tre parti più uno e mi interessa la prima, che è quella a cui avevo pensato io.
Dice che, con semplici calcoli, si ottiene $int_(I) e^(itx)dx -> 0$ per $t -> oo$. Ma quali sono questi "semplici calcoli"?
Per $t->-oo$, credo che l'esponenziale ruoti verso lo $0$, quindi l'integrale viene $0$. Ma per $t->+oo$ credo che l'esponenziale ruoti verso $+oo$, quindi l'integrale viene $+oo$.
A questo punto credo di sbagliare completamente, ma altre idee non mi vengono.
Di dimostrazioni, su internet, ne ho trovate poche, e sono troppo avanzate per il mio livello di conoscenze.
Qui: http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann–Lebesgue_lemma
la dimostrazione viene divisa in tre parti più uno e mi interessa la prima, che è quella a cui avevo pensato io.
Dice che, con semplici calcoli, si ottiene $int_(I) e^(itx)dx -> 0$ per $t -> oo$. Ma quali sono questi "semplici calcoli"?
Per $t->-oo$, credo che l'esponenziale ruoti verso lo $0$, quindi l'integrale viene $0$. Ma per $t->+oo$ credo che l'esponenziale ruoti verso $+oo$, quindi l'integrale viene $+oo$.
A questo punto credo di sbagliare completamente, ma altre idee non mi vengono.
Risposte
Me la ricordo di questo genere, se pensi a $e^(-iPi)=-1$ la trasformata la puoi scrivere
$ F(w)= - int_(-infty)^(+infty) f(t)e^(-iw(t+Pi/w)) dt$
facendo il cambio di variabile $t^{\prime}=t+Pi/w$ si ottiene
$ F(w)= - int_(-infty)^(+infty) f(t^{\prime}-Pi/w)e^(-iwt^{\prime})dt $
Sommandole a questo punto
$ 2F(w)= int_(-infty)^(+infty) [f(t)-f(t-Pi/w)]e^(-iwt)dt $
Per cui
$2|F(w)|<= +int_(-infty)^(+infty)| [f(t)-f(t-Pi/w)]e^(-iwt)|dt = int_(-infty)^(+infty) [f(t)-f(t-Pi/w)]dt $
Ottenuto grazie al fatto $|e^(-iwt)|=1$
Viene da sè il resto grazie alla continuità delle traslazioni in $L^1(RR)$
Tieni presente che il lemma vale anche per funzioni in $L^1(a,b)$ prolungandole su $RR$
Comunque sappiamo che per $f(t) in L^1(a,b)$ vale:
$ int_(-infty)^(+infty) f(t)e^(-iwt)dt = int_(-infty)^(+infty) f(t)cos(wt)dt -i int_(-infty)^(+infty) f(t)sen(wt)dt $
che tende a $0$, dividendo in $Re$ ed $Im$ infatti
$ lim_(|w|->infty) int_(-infty)^(+infty) f(t)cos(wt)dt $ $ = lim_(|w|->infty) int_(-infty)^(+infty) f(t)sen(wt)dt =0$
Ciao, buona serata!
$ F(w)= - int_(-infty)^(+infty) f(t)e^(-iw(t+Pi/w)) dt$
facendo il cambio di variabile $t^{\prime}=t+Pi/w$ si ottiene
$ F(w)= - int_(-infty)^(+infty) f(t^{\prime}-Pi/w)e^(-iwt^{\prime})dt $
Sommandole a questo punto
$ 2F(w)= int_(-infty)^(+infty) [f(t)-f(t-Pi/w)]e^(-iwt)dt $
Per cui
$2|F(w)|<= +int_(-infty)^(+infty)| [f(t)-f(t-Pi/w)]e^(-iwt)|dt = int_(-infty)^(+infty) [f(t)-f(t-Pi/w)]dt $
Ottenuto grazie al fatto $|e^(-iwt)|=1$
Viene da sè il resto grazie alla continuità delle traslazioni in $L^1(RR)$
Tieni presente che il lemma vale anche per funzioni in $L^1(a,b)$ prolungandole su $RR$
Comunque sappiamo che per $f(t) in L^1(a,b)$ vale:
$ int_(-infty)^(+infty) f(t)e^(-iwt)dt = int_(-infty)^(+infty) f(t)cos(wt)dt -i int_(-infty)^(+infty) f(t)sen(wt)dt $
che tende a $0$, dividendo in $Re$ ed $Im$ infatti
$ lim_(|w|->infty) int_(-infty)^(+infty) f(t)cos(wt)dt $ $ = lim_(|w|->infty) int_(-infty)^(+infty) f(t)sen(wt)dt =0$
Ciao, buona serata!
La risposta di bradipo è corretta e la sottoscrivo. Segnalo qui un errore concettuale nel primo post:
Non va bene pensarla così. Meglio considerare \(e^{i t x}\) come un termine oscillante con frequenza (o meglio, con pulsazione) \(t\). Se si calcola la media di questo termine su un periodo di oscillazione si ottiene, naturalmente, zero. Ora se \(t\) cresce il periodo decresce ed è quindi "sempre più facile", prendendo un intervallo \(I\), beccarlo proprio di una lunghezza giusta, ovvero di un multiplo del periodo. Al limite per \(t \to \infty\) qualsiasi lunghezza tu prenda per \(I\) l'integrale farà sempre zero. Questa è (secondo me), l'idea dietro quei "semplici calcoli".
D'altra parte quei calcoli sono davvero semplici. Prendiamo la parte reale di \(e^{i t x}\):
\[\int_a^b \cos(tx)\, dx=\frac{\sin(bt)-\sin(at)}{t} \to 0,\quad t \to \infty.\]
Analogamente si ragiona per la parte immaginaria.
"serio89":
Ma per $t->+oo$ credo che l'esponenziale ruoti verso $+oo$, quindi l'integrale viene $+oo$.
Non va bene pensarla così. Meglio considerare \(e^{i t x}\) come un termine oscillante con frequenza (o meglio, con pulsazione) \(t\). Se si calcola la media di questo termine su un periodo di oscillazione si ottiene, naturalmente, zero. Ora se \(t\) cresce il periodo decresce ed è quindi "sempre più facile", prendendo un intervallo \(I\), beccarlo proprio di una lunghezza giusta, ovvero di un multiplo del periodo. Al limite per \(t \to \infty\) qualsiasi lunghezza tu prenda per \(I\) l'integrale farà sempre zero. Questa è (secondo me), l'idea dietro quei "semplici calcoli".
D'altra parte quei calcoli sono davvero semplici. Prendiamo la parte reale di \(e^{i t x}\):
\[\int_a^b \cos(tx)\, dx=\frac{\sin(bt)-\sin(at)}{t} \to 0,\quad t \to \infty.\]
Analogamente si ragiona per la parte immaginaria.
Grazie a entrambi! 
Mi è venuto un dubbio.
Ho capito che $int_(I) e^(itx)dx -> 0$ per $t -> oo$ e perché lo fa.
Però, prendendo la formula della trasformata di Fourier, la funzione integranda è $f(t)e^(itx)dx$. Per il lemma è evidente che tende a zero, ma è possibile dimostrare che il risultato è sempre con $t$ al denominatore?
Ho capito che $int_(I) e^(itx)dx -> 0$ per $t -> oo$ e perché lo fa.
Però, prendendo la formula della trasformata di Fourier, la funzione integranda è $f(t)e^(itx)dx$. Per il lemma è evidente che tende a zero, ma è possibile dimostrare che il risultato è sempre con $t$ al denominatore?
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