Dimostrazione del criterio di leibnitz?
salve, conoscete qualche bella pagina o file pdf che tratti di questo argomento, ovvero la serie con termini a segno alterno?
sono interessato in particolare alla stima dell'errore nel caso di serie che soddisfino il criterio di leibnitz.
sul libro non ho trovato niente tantomeno(stranamente) su internet.
sono interessato in particolare alla stima dell'errore nel caso di serie che soddisfino il criterio di leibnitz.
sul libro non ho trovato niente tantomeno(stranamente) su internet.
Risposte
Io ho scritto "criterio di Leibniz" su google e la prima risposta è un link a wikipedia dove trovi la dimostrazione.
si rigel anch'io ho cercato su google e come prima voce compare wikipedia, ma sono interessato più che altro alla stima dell'errore.
"matematico91":
sono interessato in particolare alla stima dell'errore nel caso di serie che soddisfino il criterio di leibnitz.
Beh, la stima discende subito dalle disequazioni
$s_{2n+1}\le s \le s_{2n}$,
da cui si ottiene (distinguendo caso pari da caso dispari)
$|s_n - s| \le a_{n+1}$.
$s_{2n+1}\le s \le s_{2n}$,
da cui si ottiene (distinguendo caso pari da caso dispari)
$|s_n - s| \le a_{n+1}$.
esatto rigel, mi interessa prorpio quello però sul libro ho solo ciò che hai scritto tu. la docente invece richiede una "dimostrazione" di questo, che non è altro che dimostrazione di leibinitz, non so cosa intenda. vuole sia la dimostrazione di leibinitz che la dimostrazione della stima dell'errore, non c'è altro che tu sappia?
Ma è quello che ti ho appena scritto:
$|s_n - s| \le a_{n+1}$ per ogni $n$.
$|s_n - s| \le a_{n+1}$ per ogni $n$.
si lo so che è quello che hai scritto tu...(l'ho anche scritto sopra) infatti non so che cosa intenda la docente per "dimostrazione", anche io conosco quel risultato che citi tu.
Facciamo il caso di indice pari:
$0\le s_{2n} - s \le s_{2n}-s_{2n+1} = - (-1)^{2n+1} a_{2n+1} = a_{2n+1}$.
Analogamente per il caso di indice dispari.
$0\le s_{2n} - s \le s_{2n}-s_{2n+1} = - (-1)^{2n+1} a_{2n+1} = a_{2n+1}$.
Analogamente per il caso di indice dispari.
ok provo a seguirti nel ragionamento anche se non è quello che sto chiedendo, ti ringrazio comunque per la pazienza.
a questo punto faccio lo stesso con il caso di indice dispari, ora ho che una successione è decrescente(quella con termini pari) e l'altra crescente. entrambe però convergono allo stesso limite, una però per eccesso e l'altra per difetto, facendo la differenza ottengo il primo termine trascurato $a_(2n+1)$ che risulta quindi l'errore commesso nel valutare l'aprossimazione per eccesso e per difetto.
questo è ciò che ho capito.questa è una mia esposizione, sul libro tale dimostrazione viene tralasciata. me lo confermi?
a questo punto faccio lo stesso con il caso di indice dispari, ora ho che una successione è decrescente(quella con termini pari) e l'altra crescente. entrambe però convergono allo stesso limite, una però per eccesso e l'altra per difetto, facendo la differenza ottengo il primo termine trascurato $a_(2n+1)$ che risulta quindi l'errore commesso nel valutare l'aprossimazione per eccesso e per difetto.
questo è ciò che ho capito.questa è una mia esposizione, sul libro tale dimostrazione viene tralasciata. me lo confermi?
"matematico91":
ok provo a seguiri nel ragionamento anche se non è quello che sto chiedendo
Mi sembrava che tu avessi chiesto una dimostrazione della stima
(1) $|s_n - s| \le a_{n+1}$ per ogni $n$.
Se $n$ è pari, cioè se $n=2k$ con $k\in\NN$, allora ti ho già fatto vedere che
(2) $0 \le s_{2k} - s \le a_{2k+1}$
Se $n$ è dispari, cioè se $n=2k+1$ con $k\in\NN$, allora allo stesso modo
(3) $0\le s - s_{2k+1} \le a_{2k+2}$.
Se metti insieme (2) e (3) e usi il valore assoluto per non dover distinguere i segni ottieni (1).
A me questa sembra una dimostrazione; non capisco cos'altro ti serva.
si infatti anche a me questa sembra una dimostrazione, ma come ti ho già detto la docente richiede dimostrazioni separate(uno per leibinitz(serie convergente se la successione è monotona decrescente) e uno per la stima dell'errore), non so nemmeno io cosa intenda quindi immagino cosa pensi tu.
per me la dimostrazione è quella di cui parli tu (wikipedia). non so davvero come posso comportarmi sul queaderno non c'è niente perchè è una dimostrazione facoltativa.
vabbè ti ringrazio lo stesso.
per me la dimostrazione è quella di cui parli tu (wikipedia). non so davvero come posso comportarmi sul queaderno non c'è niente perchè è una dimostrazione facoltativa.
vabbè ti ringrazio lo stesso.
"Rigel":
[quote="matematico91"]ok provo a seguiri nel ragionamento anche se non è quello che sto chiedendo
Mi sembrava che tu avessi chiesto una dimostrazione della stima
(1) $|s_n - s| \le a_{n+1}$ per ogni $n$.
Se $n$ è pari, cioè se $n=2k$ con $k\in\NN$, allora ti ho già fatto vedere che
(2) $0 \le s_{2k} - s \le a_{2k+1}$
Se $n$ è dispari, cioè se $n=2k+1$ con $k\in\NN$, allora allo stesso modo
(3) $0\le s - s_{2k+1} \le a_{2k+2}$.
Se metti insieme (2) e (3) e usi il valore assoluto per non dover distinguere i segni ottieni (1).
A me questa sembra una dimostrazione; non capisco cos'altro ti serva.[/quote]
scusami rigel penso di aver risolto in un altro modo. mi dici comunque com'è possibile unendo la (2) e la (3) ottenere la (1)?
io ho fatto in questo modo
$0<=S-S_(2n+1)<=S_(2n)-S_(2n-1)=a_(2n)$
e
$0<=S_(2n)-S<=S_(2n)-S_(2n+1)=a_(2n+1)$
ora però non capisco come potrei unire le due e trovare la tesi, ovvero:$|s_n - s| \le a_{n+1}$ per ogni $n$.
"Rigel":
Mi sembrava che tu avessi chiesto una dimostrazione della stima
(1) $|s_n - s| \le a_{n+1}$ per ogni $n$.
Se $n$ è pari, cioè se $n=2k$ con $k\in\NN$, allora
(2) $|s_n - s| = |s_{2k}-s| = s_{2k} - s \le s_{2k}-s_{2k+1} = a_{2k+1} = a_{n+1}$.
Se $n$ è dispari, cioè se $n=2k+1$ con $k\in\NN$, allora allo stesso modo
(3) $|s_n - s| = |s_{2k+1}-s| = s - s_{2k+1} \le s_{2k+2} - s_{2k+1} = a_{2k+2} = a_{n+1}$.
Più di così non so cosa dire.
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