Dimostrazione del criterio della radice

[luigi_maddaluno]

Salve ho problemi con il criterio della radice , o per meglio dire con la sua dimostrazione ...

[Seneca1]

Posta esplicitamente i tuoi dubbi (riportando la dimostrazione, magari).

[luigi_maddaluno]

certo , la dimostrazione inizia dicendo che $ lim_(n -> oo) root(n)(an) = l $ col l >1 che per definizione $ AA epsilon >0 EEnu epsilon N : AAn>nu : l- epsi

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[Noisemaker]

$$\mbox{ Criterio della radice (di Cauchy)}$$

Sia $ \sum_{n\ge0}a_n$ una serie a termini positivi; se esiste un numero $\lambda$ positivo e minore di uno, cioè $0<\lambda<1,$ e un indice $N$ per cui risulti
\begin{align}
\sqrt[n]{a_n }\le \lambda<1,\,\,\,\text{per $n\ge N,$},\qquad(1)
\end{align}
allora la serie è convergente. Se risulta invece $\root[n]{a_n }> 1$ per infiniti valori di $n$ allora la serie diverge.
Dimostrazione
Se vale la $(1 )$ per $n\ge N$ si ha $a_{n}\le \lambda ^n;$ quindi abbiamo che il termine generale $a_n$ della serie è maggiorato dal termine generale di una serie geometrica $ \lambda^n,$ ed essendo per ipotesi $0<\lambda<1,$ la serie geometrica ha ragione minore di uno, e dunque risulta convergente; allora per il criterio del confronto la serie $a_n$ converge. Se invece $\root[n]{a_n }> 1$, cio\'e $ a_n > 1$ per infiniti valori di $n,$ non è verificata la condizione necessaria di convergenza, e dunque la serie non converge.