Dimostrazione decrescenza successione
Ciao a tutti,
sto avendo problemi nella dimostrazione di decrescenza di $ ( 1+ 1/n )^(n+1) $
Ho visto questo post nel forum http://www.matematicamente.it/forum/dimostrazione-crescenza-decrescenza-di-una-successione-t60420.html ma non mi da risposte convincenti.
Per la successione di crescenza di $ ( 1+ 1/n )^(n) $ ho risolto in questo modo anche se non mi è molto chiaro:
$ ( 1+ 1/n )^(n+1)= $
$ 1+( ( n ),( 1 ) )*1/n+...+( ( n ),( n ) )*1/n^n= $
$ 2+1/(2!)*(n*(n-1))/n^2+...+1/(n!)*(n*(n-1)...1)/n^n= $
$ 2+1/(2!)*(1-1/n)+1/(3!)*(1-1/n)(1-2/n)+...+1/(n!)*(1-1/n)(1-2/n)...(1-(n-1)/n) $
e a questo punto sostituisco n con n+1, dimostrando che cosi la somma cresce. Questo modo è corretto? si può applicare similarmente anche per la decrescenza di $ ( 1+ 1/n )^(n+1) $ ?
sto avendo problemi nella dimostrazione di decrescenza di $ ( 1+ 1/n )^(n+1) $
Ho visto questo post nel forum http://www.matematicamente.it/forum/dimostrazione-crescenza-decrescenza-di-una-successione-t60420.html ma non mi da risposte convincenti.
Per la successione di crescenza di $ ( 1+ 1/n )^(n) $ ho risolto in questo modo anche se non mi è molto chiaro:
$ ( 1+ 1/n )^(n+1)= $
$ 1+( ( n ),( 1 ) )*1/n+...+( ( n ),( n ) )*1/n^n= $
$ 2+1/(2!)*(n*(n-1))/n^2+...+1/(n!)*(n*(n-1)...1)/n^n= $
$ 2+1/(2!)*(1-1/n)+1/(3!)*(1-1/n)(1-2/n)+...+1/(n!)*(1-1/n)(1-2/n)...(1-(n-1)/n) $
e a questo punto sostituisco n con n+1, dimostrando che cosi la somma cresce. Questo modo è corretto? si può applicare similarmente anche per la decrescenza di $ ( 1+ 1/n )^(n+1) $ ?
Risposte
Ok, non mi è molto chiara la parte scritta, quindi procediamo per gradi.
Alla prima riga dei conti: perché aumenti di 1 solamente la n all'esponente? Non dovresti aumentare anche quella a denominatore?
Alla prima riga dei conti: perché aumenti di 1 solamente la n all'esponente? Non dovresti aumentare anche quella a denominatore?
Alla prima riga dei conti: perché aumenti di 1 solamente la n all'esponente? Non dovresti aumentare anche quella a denominatore?
questa è una soluzione che ho trovato su una dispensa online, infatti nemmeno a me è chiara e forse è perfino errata...
Non è consigliabile fare cose che non si capiscono XD
Si lo so, x questo chiedo a chi sa più di me;-) Ho trovato anche questa soluzione che mi è già un po più chiara http://progettomatematica.dm.unibo.it/successioni/Dim52.html
consiste nel dimostrare che $ (1+1/n)^n $ è monotona crescente e $ (1+1/(n))^(n+1) $ monotona decrescente...dimostarare che i due convergono allo stesso $ l in RR $
che ne pensi?
consiste nel dimostrare che $ (1+1/n)^n $ è monotona crescente e $ (1+1/(n))^(n+1) $ monotona decrescente...dimostarare che i due convergono allo stesso $ l in RR $
che ne pensi?
Prova a dimostrarlo facendo vedere che $a_(n+1)/a_n > 1$, (per quanto riguarda $a_n=(1+1/n)^n$).
Ad un certo punto ti devi aiutare con la disuguaglianza di Bernoulli, però potresti farcela anche senza guardare un libro.
Personalmente non è chiara nemmeno a me quella che hai scritto (non ho speso molto tempo a cercare di capirla), però secondo me è orribile una dimostrazione che parte con uno sviluppo binomiale quando si può benissimo evitare. (Te lo dico perchè ne sto facendo ora alcune sulla distribuzione binomiale e sono veramente odiose!).
Comunque in sintesi devi provare 3 cose: $a_n = (1+1/n)^n$ è monotona crescente, $b_n=(1+1/n)^(n+1)$ è monotona decrescente, $a_n <= b_n$ per ogni $n$. Così hai che $a_n$ è una successione monotona e limitata, il che implica la sua convergenza.
Ad un certo punto ti devi aiutare con la disuguaglianza di Bernoulli, però potresti farcela anche senza guardare un libro.
Personalmente non è chiara nemmeno a me quella che hai scritto (non ho speso molto tempo a cercare di capirla), però secondo me è orribile una dimostrazione che parte con uno sviluppo binomiale quando si può benissimo evitare. (Te lo dico perchè ne sto facendo ora alcune sulla distribuzione binomiale e sono veramente odiose!).
Comunque in sintesi devi provare 3 cose: $a_n = (1+1/n)^n$ è monotona crescente, $b_n=(1+1/n)^(n+1)$ è monotona decrescente, $a_n <= b_n$ per ogni $n$. Così hai che $a_n$ è una successione monotona e limitata, il che implica la sua convergenza.
Un'alternativa che mi è più congeniale [ma che se la vede gugo potrebbe lamentarsi] è di considerare la successione in questione come appartenente alla funzione
\[ f(x) = \left( 1 + \frac 1 x \right)^x \]
A questo punto, dove la funzione \(f\) è strettamente crescente la successione sarà monotona crescente.
Il vantaggio è che la monotonia di una funzione "abbastanza bella" è molto facile da verificare; ovviamente questo trucco diventa inutile se la funzione che si ottiene crea dei problemi...
\[ f(x) = \left( 1 + \frac 1 x \right)^x \]
A questo punto, dove la funzione \(f\) è strettamente crescente la successione sarà monotona crescente.
Il vantaggio è che la monotonia di una funzione "abbastanza bella" è molto facile da verificare; ovviamente questo trucco diventa inutile se la funzione che si ottiene crea dei problemi...
Però è brutto farlo così.. quando si parla di successioni spesso non si è ancora studiato nemmeno cosa sia la derivata!
Punto 1) Ovunque c'entri l'analisi matematica non può esserci alcunché di "brutto"
Punto 2) Farlo così mi sembra decisamente meglio che non farlo
Punto 3) Non vedo comunque nulla di male nell'utilizzare strumenti superiori per risolvere esercizi.
Punto 2) Farlo così mi sembra decisamente meglio che non farlo
Punto 3) Non vedo comunque nulla di male nell'utilizzare strumenti superiori per risolvere esercizi.
ho provato in questo modo
(premetto che nc non è n*c ma n con c a pedice, non sapevo come farlo)
per $ (1+1/n)^n $
sup$(n in NN) (1+1/n)^n = l in RR $
$ AA c > 0 EE n_c : (1+1/(n_c))^(n_c) >= l + c $
$ AA n > n_c , l - c < (1+1/(n_c))^(n_c) <= (1+1/n)^n <= l $
$ AA n_c > 0 , EE n_c in NN : l - c <(1+1/n)^n <= l + c $
per $ (1+1/n)^(n+1) $
inf$ (n in NN) (1+1/n)^(n+1) = l in RR $
$ AA c > 0 EE n_c : (1+1/(n_c))^(n_c+1) <= l + c $
$ AA n > n_c , l - c > (1+1/(n_c))^(n_c+1) >= (1+1/n)^(n+1) >= l $
$ AA n_c > 0 , EE n_c in NN : l - c > (1+1/n)^(n+1) >= l + c $
e infine per dimostrare che le due successioni convergono nello stesso punto
$ (1+1/n)^n = (1+1/n)^(n) * (1+1/n)^(1) $
$ (1+1/n)^(1) $ tende a 1,quindi
$ (1+1/n)^(n) = (1+1/n)^(n) $
che ne dite? è corretto?
(premetto che nc non è n*c ma n con c a pedice, non sapevo come farlo)
per $ (1+1/n)^n $
sup$(n in NN) (1+1/n)^n = l in RR $
$ AA c > 0 EE n_c : (1+1/(n_c))^(n_c) >= l + c $
$ AA n > n_c , l - c < (1+1/(n_c))^(n_c) <= (1+1/n)^n <= l $
$ AA n_c > 0 , EE n_c in NN : l - c <(1+1/n)^n <= l + c $
per $ (1+1/n)^(n+1) $
inf$ (n in NN) (1+1/n)^(n+1) = l in RR $
$ AA c > 0 EE n_c : (1+1/(n_c))^(n_c+1) <= l + c $
$ AA n > n_c , l - c > (1+1/(n_c))^(n_c+1) >= (1+1/n)^(n+1) >= l $
$ AA n_c > 0 , EE n_c in NN : l - c > (1+1/n)^(n+1) >= l + c $
e infine per dimostrare che le due successioni convergono nello stesso punto
$ (1+1/n)^n = (1+1/n)^(n) * (1+1/n)^(1) $
$ (1+1/n)^(1) $ tende a 1,quindi
$ (1+1/n)^(n) = (1+1/n)^(n) $
che ne dite? è corretto?
Appunti su MathJax:
\(n_C\) = n_C
\(\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}}\) = \displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}}
\(\displaystyle \inf_{n \in \mathbb{N}}\) = \displaystyle \inf_{n \in \mathbb{N}}
\, lascia un piccolo spazio per separare i simboli quando sono troppo attaccati
Alla seconda riga mi sembra di vedere un errore in una disuguaglianza, dove c'è un \(\ge\) anziché un \(\le\)
\(n_C\) = n_C
\(\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}}\) = \displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}}
\(\displaystyle \inf_{n \in \mathbb{N}}\) = \displaystyle \inf_{n \in \mathbb{N}}
\, lascia un piccolo spazio per separare i simboli quando sono troppo attaccati
Alla seconda riga mi sembra di vedere un errore in una disuguaglianza, dove c'è un \(\ge\) anziché un \(\le\)
visto e corretto, grazie...ora?
Dunque, confesso di non aver capito quasi niente del tuo ultimo messaggio.
Per ciascuna delle due prime parti: la prima riga non la comprendo, perché non so cosa intendi con quella notazione, né se è ciò che realmente volevi scrivere; le seconde righe sono cambiate ma ora sono false; le altre righe dipendono dalla 2 quindi per ora mi fermo qui.
Prova a sistemare le cose.
Per ciascuna delle due prime parti: la prima riga non la comprendo, perché non so cosa intendi con quella notazione, né se è ciò che realmente volevi scrivere; le seconde righe sono cambiate ma ora sono false; le altre righe dipendono dalla 2 quindi per ora mi fermo qui.
Prova a sistemare le cose.
si purtroppo non riesco con MathJax a inserire il sup e l'inf....ora ho un po sistemato affinchè sia un pò più chiaro.
cioe?non mi pare di vedere errori
le seconde righe sono cambiate ma ora sono false;
cioe?non mi pare di vedere errori
Non vedi errori??
Beh, allora guarda a questo: alla prima riga scrivi
\[\sup_{n \in \mathbb{N}} \left( 1 + \frac 1 n \right)^n = e\]
ed alla seconda scrivi
\[\forall c > 0 \, \exists n_c > 0 : \left( 1 + \frac 1 {n_c} \right)^{n_c} > e + c\]
Ma questo significa che se io scelgo \(c = 5\), tu mi puoi trovare un certo \(n_5\) per cui
\[\left( 1 + \frac{1}{n_5} \right)^{n_5} > e + 5 > \sup_n \left( 1 + \frac 1 n \right)^n \]
Ti sembra possibile una cosa del genere?
Beh, allora guarda a questo: alla prima riga scrivi
\[\sup_{n \in \mathbb{N}} \left( 1 + \frac 1 n \right)^n = e\]
ed alla seconda scrivi
\[\forall c > 0 \, \exists n_c > 0 : \left( 1 + \frac 1 {n_c} \right)^{n_c} > e + c\]
Ma questo significa che se io scelgo \(c = 5\), tu mi puoi trovare un certo \(n_5\) per cui
\[\left( 1 + \frac{1}{n_5} \right)^{n_5} > e + 5 > \sup_n \left( 1 + \frac 1 n \right)^n \]
Ti sembra possibile una cosa del genere?
quindi dovrei avere una cosa del tipo
$ \forall c > 0 \, \exists n_c > 0 : ( 1 + \frac 1 {n_c} )^{n_c} <= e + c $
per il primo caso, mentre nel secondo caso
$ \forall c > 0 \, \exists n_c > 0 : ( 1 + \frac 1 {n_c} )^{n_c+1} >= e + c $
dico bene?
$ \forall c > 0 \, \exists n_c > 0 : ( 1 + \frac 1 {n_c} )^{n_c} <= e + c $
per il primo caso, mentre nel secondo caso
$ \forall c > 0 \, \exists n_c > 0 : ( 1 + \frac 1 {n_c} )^{n_c+1} >= e + c $
dico bene?
Adesso sono due affermazioni vere, ma penso non abbiano alcuna utilità.
Inoltre, penso ti convenga cercare di scrivere una dimostrazione intera, non solo esporne i "sommi capi" in questo modo.
Inoltre, penso ti convenga cercare di scrivere una dimostrazione intera, non solo esporne i "sommi capi" in questo modo.
per $ (1+1/n)^n $
sup$ n in NN ( 1 + \frac 1 n )^(n) = e $
$ AA c > 0 EE n_c : (1+1/(n_c))^(n_c) >= e + c $
$ \forall{c}\gt{0},\exists(n_c)\gt{0}:(1+1/(n_c))^(n_c)\le e+c $
$ AA n_c > 0 , EE n_c in NN :e - c <(1+1/n)^n <= e + c $
per $ (1+1/n)^(n+1) $
inf$ n in NN ( 1 + \frac 1 n )^(n+1) = e $
$ AA c > 0 EE n_c : (1+1/(n_c))^(n_c+1) <= e + c $
$ \forall{c}\gt{0},\exists(n_c)\gt{0}:(1+1/(n_c))^(n_c+1)\ge e+c $
$ AA n_c > 0 , EE n_c in NN : e - c > (1+1/n)^(n+1) >= e + c $
e infine per dimostrare che le due successioni convergono nello stesso punto
$ (1+1/n)^n = (1+1/n)^(n) * (1+1/n)^(1) $
$ (1+1/n)^(1) $ tende a 1,quindi
$ (1+1/n)^(n) = (1+1/n)^(n) $
sup$ n in NN ( 1 + \frac 1 n )^(n) = e $
$ AA c > 0 EE n_c : (1+1/(n_c))^(n_c) >= e + c $
$ \forall{c}\gt{0},\exists(n_c)\gt{0}:(1+1/(n_c))^(n_c)\le e+c $
$ AA n_c > 0 , EE n_c in NN :e - c <(1+1/n)^n <= e + c $
per $ (1+1/n)^(n+1) $
inf$ n in NN ( 1 + \frac 1 n )^(n+1) = e $
$ AA c > 0 EE n_c : (1+1/(n_c))^(n_c+1) <= e + c $
$ \forall{c}\gt{0},\exists(n_c)\gt{0}:(1+1/(n_c))^(n_c+1)\ge e+c $
$ AA n_c > 0 , EE n_c in NN : e - c > (1+1/n)^(n+1) >= e + c $
e infine per dimostrare che le due successioni convergono nello stesso punto
$ (1+1/n)^n = (1+1/n)^(n) * (1+1/n)^(1) $
$ (1+1/n)^(1) $ tende a 1,quindi
$ (1+1/n)^(n) = (1+1/n)^(n) $
Ok, forse non ci siamo capiti. Ora mi hai semplicemente ricopiato il post della pagina precedente, ma io che dovrei farmene?
E soprattutto: ti ho detto di scrivere una dimostrazione completa, devi quindi dimostrare ciascuna delle righe che hai scritto qui sopra.
E soprattutto: ti ho detto di scrivere una dimostrazione completa, devi quindi dimostrare ciascuna delle righe che hai scritto qui sopra.
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