Dimostrazione Criterio successioni di cauchy
qualcuno potrebbe spiegarmi la dimostrazione del criterio di convergenza delle successioni di cauchy? sul mio libro è poco chiara ci sono un sacco di lemmi
grazie
grazie
Risposte
ho visto che c'è un post precedente ma io vorrei una dimostrazione di questi lemmi che permettono la dimostrazione del criterio di convergenza per le successioni di cauchy.
scusa a quale ti riferisci a quello che se ho una succesione di cauchy in uno spzio metrico completo allora è convergente?
mi riferisco al teorema di analisi 1:
una successione $a_n$ è convergente $<=>$ è di Cauchy
una successione $a_n$ è convergente $<=>$ è di Cauchy
spero di essere stato kiaro. se sono molti procedimenti da scrivere capisco. in tal caso qualcuno potrebbe indicarmi una dispensa dove è possibile trovare una spiegazione chiara ed esaustiva di questo teorema?
credo che l'enunciato corretto del teorema sia:
una successione di "numeri reali" è convergente se e solo se è di cauchy.
(è fondamentale che sia in $RR$)
dim.
$(=>)$
suppuniamo che $a_n->l in RR$, fissato $epsilon>0$ presi comunque $n,m>=bar n$ si ha che $|a_n-l|
$|a_m-a_n|<2epsilon$ quindi la successione è di cauchy.
$viceversa$
supponiamo che $a_n$ sia di cauchy.anzitutto osservo che $AA epsilon_0>0$ dalla definizione di cauchy si ha che :
$EE n_0: AA m,n>=n_0, a_m-epsilon_0
quindi per Bolzano-Weierstrass esiste una sottosuccessione convergente ad un numero reale $l$ cioè
$EE n': AA n>=n' \quad |a_k_n-l|
$EE n'' : AA n,m>=n'' \quad|a_n-a_m|
posto N=max(n',n'') usando ancora la disuguaglianza triangolare si ha che
$AA n>=N |a_n-l|<= |a_n-a_k_n|+|a_k_n-l|<2epsilon$
cioè la successione è convergente.
fondamentale è il fatto che siamo in $RR$ che è uno spazio metrico completo per questo nell'enunciato del teorema devi aggiungere "successione di numeri reali" perchè in altri spazi l'essere di cauchy non implica la convergenza.
ciao.
una successione di "numeri reali" è convergente se e solo se è di cauchy.
(è fondamentale che sia in $RR$)
dim.
$(=>)$
suppuniamo che $a_n->l in RR$, fissato $epsilon>0$ presi comunque $n,m>=bar n$ si ha che $|a_n-l|
$|a_m-a_n|<2epsilon$ quindi la successione è di cauchy.
$viceversa$
supponiamo che $a_n$ sia di cauchy.anzitutto osservo che $AA epsilon_0>0$ dalla definizione di cauchy si ha che :
$EE n_0: AA m,n>=n_0, a_m-epsilon_0
quindi per Bolzano-Weierstrass esiste una sottosuccessione convergente ad un numero reale $l$ cioè
$EE n': AA n>=n' \quad |a_k_n-l|
$EE n'' : AA n,m>=n'' \quad|a_n-a_m|
posto N=max(n',n'') usando ancora la disuguaglianza triangolare si ha che
$AA n>=N |a_n-l|<= |a_n-a_k_n|+|a_k_n-l|<2epsilon$
cioè la successione è convergente.
fondamentale è il fatto che siamo in $RR$ che è uno spazio metrico completo per questo nell'enunciato del teorema devi aggiungere "successione di numeri reali" perchè in altri spazi l'essere di cauchy non implica la convergenza.
ciao.
qualcuno può confermare la correttezza del teorema?
grazie 1000 cmq
grazie 1000 cmq
prego
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo