Dimostrazione criterio di Monotonia

[Doch1]

Salve a tutti, volevo avere un chiarimento riguardo una dimostrazione del corollario "criterio di monotonia" nel caso crescente:

Sia $f(x)$ funzione continua in [a,b] e derivabile in (a,b).
Allora $f(x)$ è crescente in [a,b] se e solo se $f'(x) \geq 0$ per ogni $x in (a, b) $

Ho provato a dimostrare da solo $f'(x) \geq 0$ ==> $f(x) $crescente così:

Per provare che $f'(x) \geq 0$ ==> $f(x) $ crescente procediamo così:
Supponiamo $f'(x) \geq 0$, preso $x_o$ in (a, b) avremo:
$ \lim_{x\rightarrow x_o} (f(x) - f(x_o)) / (x - x_o) geq 0 $
Per il teorema della permanenza del segno avremo allora che esiste $delta > 0$ tale che per $x in (x_o - delta, x_o + delta)\\{x_o} $ allora $(f(x) - f(x_o)) /(x-x_o) geq 0$.
Supponendo allora $x>x_o$ e quindi $x-x_o>0$ avremo che $f(x) - f(x_o) geq 0$ e quindi $f(x) geq f(x_o) $ per cui $f(x) $ è crescente. Allo stesso modo se $x_o>x$ avremo che $f(x_o) geq f(x) $ per cui $f(x)$ è crescente.

Però questo è un corollario del teorema di Lagrange da quanto è scritto sul libro, e io non l'ho usato da nessuna parte. Inoltre la dimostrazione sul libro è diversa e usa il teorema di Lagrange.
Da queste due cose capisco di aver sbagliato qualcosa nella dimostrazione ma non capisco cosa.

Sapreste aiutarmi?

[Doch1]

Nessuno mi sa aiutare?

[vict85]

Per ogni coppia \(c

Cita

Segnala